高等数学公式
?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)隐函数方程组：? J???u?G?(u,v)?G(x,y,u,v)?0?u?u?x?u?y????1?(F,G)?v1?(F,G)? ???J?(x,v)?xJ?(u,x)1?(F,G)?v1?(F,G)? ???J?(y,v)?yJ?(u,y)?F?v?Fu?GGu?vFvGv
微分法在几何上的应用：
?x??(t)x?x0y?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：????(t0)??(t0)??(t0)?z??(t)?在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0,GzGzFzFz,GxGxFxFxFyGy??Fy?F(x,y,z)?0,则切向量T?{?GyG(x,y,z)?0??}曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：?1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0x?x0Fx(x0,y0,z0)?y?y0Fy(x0,y0,z0)?z?z0Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中?为x轴到方向l的转角。函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?它与方向导数的关系是单位向量。?l多元函数的极值及其求法： ??f是gradf(x,y)在l上的投影。?f??f?i?j?x?yl的方向导数为：?f?l??f?xcos???f?ysin????f??：?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l
设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A, fxy(x0,y0)?B, fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2AC?B?0时，???A?0,(x0,y0)为极小值??2则：值?AC?B?0时， 无极?AC?B2?0时, 不确定???
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高等数学公式 重积分及其应用：
??Df(x,y)dxdy???D?f(rcos?,rsin?)rdrd???z???z??1???????dxdy??x???y?22曲面z?f(x,y)的面积A???Dx平面薄片的重心：x?MM??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D, y?MMy???DDy?(x,y)d????(x,y)d???D
x?(x,y)d?2平面薄片的转动惯量：平面薄片（位于Fx?f对于x轴Ix???Dy?(x,y)d?, 对于y轴Iy?2xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：， Fy?f3??D?(x,y)xd?222??D?(x,y)yd?222， Fz??fa??3D?(x,y)xd?3(x?y?a)2(x?y?a)2(x?y?a)2222柱面坐标和球面坐标：
?x?rcos??柱面坐标：?y?rsin?, ???f(x,y,z)dxdydz???z?z?其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?， dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??2?????F(r,?,z)rdrd?dz,
?r(?,?)????f(x,y,z)dxdydz?1M????F(r,?,?)rsin?drd?d??1M2?d??d?00?F(r,?,?)rsin?dr02重心：x?转动惯量：????x?dv, y?????y?dv, z?1M2????z?dv， 其中M?x?22?????dvIx?????(y?z)?dv， Iy?22????(x?z)?dv， Iz?2????(x?y)?dv曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：?, (??t??),则：?y??(t)??Lf(x,y)ds????x?t22f[?(t),?(t)]??(t)???(t)dt (???) 特殊情况：??y??(t) 7 / 12
高等数学公式
第二类曲线积分（对坐设L的参数方程为标的曲线积分）：?x??(t)，则：?y??(t)???P(x,y)dxL?Q(x,y)dy???{P[?(t),?L(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：系：?Pdx?Qdy?的方向角。)dxdy??(Pcos?L?Qcos?)ds，其中?和?分别为??(D?Q?x??P?y?PdxL?Qdy格林公式：??(D?Q?x??P?y)dxdy?12?PdxL?Qdy?Q?P当P??y,Q?x，即：??2时，得到?x?y·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；无关的条件：D的面积：A???Ddxdy??xdyL?ydx2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在?Q?x＝?P?y注意方向相反！：，且?Q?x＝?P?y。注意奇点，如(0,0)，应
u(x,y)的全微分，其中：时，Pdx?Qdy才是二元函数(x,y)u(x,y)??P(x,y)dx(x0,y0)?Q(x,y)dy，通常设x0?y0?0。曲面积分：
对面积的曲面积分：对坐标的曲面积分：????f(x,y,z)ds???Dxyf[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy22??P(x,y,z)dydzDxy?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：号；??R(x,y,z)dxdy?????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正Dyz
号；号。?Qcos??Rcos?)ds??P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx?????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(Pcos??高斯公式：
????(?P?x??Q?y??R?z)dv???Pdydz??Qdzdx?Rdxdy???(Pcos???Qcos??Rcos?)ds高斯公式的物理意义——通量与散度：?div??0,则为消失...??P?Q?R散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，???因此，高斯公式又可写成：?????divAdv???A?nds 8 / 12
高等数学公式 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
???(?R?y??Q?z)dydz?(?P?z??R?x)dzdx?(dzdx??yQ?Q?x??P?y)dxdy?cos???xP?Pdx??Qdy?Rdzcos???zR上式左端又可写成：???dydz??xPdxdy??zR?R?y?????cos???yQ空间曲线积分与路径无i??xPj??yQ关的条件：k??zR?Q?P?R?Q?P， ?， ??z?z?x?x?y
?旋度：rotA??向量场A沿有向闭曲线?的环流量：?Pdx?Qdy?Rdz??????A?tds常数项级数：
等比数列：1?q?q2???qn?1?1?qn1?q等差数列：1?2?3???n?调和级数：1?12?13???1n(n?1)n2
是发散的级数审敛法：
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：设：??limnn?????1时，级数收敛?un，则???1时，级数发散???1时，不确定????1时，级数收敛?，则???1时，级数发散???1时，不确定?散。2、比值审敛法：Un?1Un
设：??limn??3、定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发n??交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法如果交错级数满足??un?un?1?limu?0，那么级数收敛且其和??n??n——莱布尼兹定理：
s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。绝对收敛与条件收敛：
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高等数学公式
(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数：? 级数：?1nn发散，而收敛；ｐ?１时发散 p?1时收敛收敛级数；(1)为条件收敛级数。n
?(?1)n收敛；12 p级数：?1np幂级数：
23n1?x?x?x???x?? x?1时，收敛于x?1时，发散11?x对于级数(3)a0?a1x ?a2x???anx??，如果它不是仅在原点x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使2n收敛，也不是在全x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定
??0时，R?求收敛半径的方法：设liman?1an??，其中an，an?1是(3)的系数，则1?n????0时，R???????时，R?0函数展开成幂级数：
函数展开成泰勒级数：余项：Rn?f(n?1)f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)n?1f??(x0)2!(x?x0)???2f(n)(x0)n!(x?x0)??n(?)(n?1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f??(0)2!2充要条件是：limRn?0n??
x0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???f(n)(0)n!x??n一些函数展开成幂级数：
(1?x)m?1?mx?x3m(m?1)2!x2???xm(m?1)?(m?n?1)n!xn?? (?1?x?1)
sinx?x?3!?x52n?15!???(?1)n?1(2n?1)!?? (???x???)欧拉公式：
ix?ix?e?e?cosx??2?cosx?isinx 或?ix?ix?sinx?e?e?2?eix
三角级数：
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