1基础知识详解
先回顾一下第一章的几个重要定理
1、limf(x)?A?f(x)?A?? ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系
x??x?x02、?:???=?+o(?) ，这是两个等价无穷小之间的关系
3、零点定理：
条件：闭区间[a,b]上连续、f(a)f(b)?0 (两个端点值异号)
结论：在开区间(a,b)上存在? ，使得f(?)?0
4、介值定理：
条件：闭区间[a,b]上连续、[f(a)?A]?[B?f(b)]
结论：对于任意min(A,B)?C?max(A,B)，一定在开区间(a,b)上存在?，使得f(?)?C。
5、介值定理的推论：
闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M和最小值m之间的一切值。
第三章 微分中值定理和导数的应用
1、罗尔定理
条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b)
结论：在开区间(a,b)上存在? ，使得
f'(?)?0
2、拉格朗日中值定理
条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导
结论：在开区间(a,b)上存在? ，使得
f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)
3、柯西中值定理
条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，g(x)?0,x?(a,b)
结论：在开区间(a,b)上存在? ，使得
f(b)?f(a)f'(?)?g(b)?g(a)g'(?)
拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。
4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。
罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。
拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式：
m2(x)?f(x1)-f(x2)?m1(x)； 一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用
拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是[x1,x2] 。
5、洛必达法则应用注意
正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种：
0?,,0*?,???,00,1?,?0 0?每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。
6、泰勒公式求极限。
limf(x)limf(x)，那么就
如果极限是x?x 那么就在x 附近展开。如果极限是
00x??变形成t?t0展开。
limf(t)，再在t0附近展开。一般都是化成limf(t)用迈克劳林展开式
t?0那么展开多少步呢？一般分子分母展开的幂应该是一样的，便于上下几次方相抵消，分子分母尾部都跟着一个皮亚诺型余项。如果展开了，发现分母是表面外观的2次方，而上面如果展开后分子的结果为0，则还要继续往更高阶次展开。分母一定会跟着分子有同样阶的。。。算吧，很大的计算量。。。
7、用导数判断函数曲线的单调性和单调区间。
条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，且导数f'(x)?0(?0)
结论1：f(x) 在闭区间[a,b]上单增（单减）
结论2：f'(x)?0或不存在 则此点一定是可靠而全面的对单调的分界点
8、函数曲线的凹凸性和拐点（左右凹凸变化的分界点）
方法一：条件：区间连续。结论：
若f(x1?x2f(x1)?f(x2))?，则该曲线在(x1,x2)凹 22x1?x2f(x1)?f(x2))?，则该曲线在(x1,x2)凸 22 若f(方法二：条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)存在一阶和二阶导数
结论1：f''(x)?0 在[a,b]凹；f''(x)?0 在[a,b]凸；
结论2：f''(x)?0或不存在 则此点一定是全面的但仅是可能的拐点。然后验证
f''?(x)、f''-(x)的符号。异号则一定为拐点。
9．函数在区间上的极值点，最值点。
定理1：极值点处的导数f'(x0)?0
定理2：
条件：f(x) 在x0 点处连续，在x0附近的去心邻域内可导
结论：f'?(x0)?0,f'?(x0)?0 则在x0点取得极大值。f'?(x0)?0,f'?(x0)?0 则在x0点取得极小值。若左右邻域内符号不变，则该点无极值。
定理3：
条件：f(x) 在x0 点处的一阶导数f'(x0)?0
结论：f''(x0)?0 ，则在x0点取得极小值。f''(x0)?0 ，则在x0点取得极小值。f''(x0)=0,则该点可能是极值，也可能不是极值。
总结：一阶导数就能得出极值点。二阶导数也能得出，但二阶导数有限制f'(x0)?0。
最值：在极值中挑出个最大的，最小的点，再跟两端的值大小比较一下，得到的就是闭区间最大值，最小值。
微分中值定理与导数的应用总结
