归纳等比数列的性质.
1. 等比数列的定义：2. 通项公式：
an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?，首项：a1；公比：q qan. aman?q?q?0??n?2,且n?N*?，q称为公比 an?1n?mn?m?推广：an?amq， 从而得q3. 等比中项
2（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?ab或A??ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
2（2）数列?an?是等比数列?an?an?1?an?1
4. 等比数列的前n项和Sn公式： （1）当q?1时， Sn?na1.
（2）当q?1时，Sn?为常数）
a1?1?qn?1?q?aaa1?anq?1?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'（A,B,A',B'1?q1?q1?q5. 等比数列的判定方法
（1）定义法：对任意的n,都有an?1?anq或an?1?q(q为常数，an?0)?{an}为等比数列. an2 （2）中项公式法：an?an?1an?1（an?1an?1?0）?{an}为等比数列.
（3） 通项公式法：an?A?B（4） 前n项和公式法：
n?A?B?0??{an}为等比数列
a1naq?1?A?A?Bn或Sn?A'Bn?A'?A,B,A',B'为常数??{an}为等比数列 q?1q?16. 等比数列的证明方法
a*依据定义：若n?q?q?0??n?2,且n?N?或an?1?qan?{an}为等比数列
an?1Sn?7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
n?1（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；an?a1q
如奇数个数成等比，可设为…，
aa,,a,aq,aq2…（公比为q，中间项用a表示）； 2qq8. 等比数列的性质 （1）当q?1时
①等比数列通项公式an?a1q为公比q.
n?1?a1nq?A?Bn?A?B?0?是关于n的带有系数的类指数函数，底数qa1?a1qnaa②前n项和Sn???1?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'，系数和常数项是
1?q1?q1?q1?q互为相反数的类指数函数，底数为公比q
n?m?（2）对任何m,n?N,在等比数列{an}中,有an?amq,特别的,当m?1时,便得到等比数列的通
项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
2?（3）若m?n?s?t (m,n,s,t?N),则an?am?as?at.特别的,当m?n?2k时,得an?am?ak
a1?1?qn?注：a1?an?a2?an?1?a3an?2??? （4）数列{an},{bn}为等比数列,则数列{ak},{k?an},{ank},{k?an?bn}{n} (k为非零常数) 均为
bnan等比数列.
?（5）数列{an}为等比数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等比数列.
（6）如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列. （7）若{an}为等比数列,则数列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比数列.
（8）若{an}为等比数列,则数列a1?a2?????an, an?1?an?2?????a2n, a2n?1?a2n?2??????a3n成等比数列
a1?0，则{an}为递增数列（9）①当q?1时，a1?0，则{an}为递减数列
{a1?0，则{an}为递减数列{②当0?q?1时，a1?0，则{an}为递增数列
③当q?1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）. ④当q?0时,该数列为摆动数列.
（10）在等比数列{an}中, 当项数为2n (n?N)时,
*S奇1?. S偶qn（11）若{an}是公比为q的等比数列,则Sn?m?Sn?q?Sm
注意：解决等比数列问题时，通常考虑两类方法： ①基本量法：即运用条件转化为关于a1和q的方程；
②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
等比数列练习
一、选择题
1.已知数列?1,a1,a2,?4成等差数列, ?1,b1,b2,b3?4成等比数列，则
a2?a1的值为( ) b2A、1 B、—1 C、1或—1 D、1
2222422.等比数列{an}中，an?0,a1,a99为方程x?10x?16?0的两根，则a20?a50?a80的值为（ ）
A．32 B．64 C．256 D．?64
3.已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)
＝（ ）
9
A．8 B．－8 C．?8 D．
8
4.某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是 （ ）
A．公差为0的等差数列； B．公比为1的等比数列； C．常数数列1，1，1…； D．以上都不对. 5.等比数列?an?的各项均为正数，且a5a6?a4a7＝18，则log3a1?log3a2??log3a10＝（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 6.已知Sn是公差不为0的等差数列?an?的前n项和，且S1,S2,S4成等比数列，则
A. 4 B. 6 C.8 D.10
7.公差不为零的等差数列?an?的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S10?60,则S8等于（ ）
A、28 B、32 C、36 D、40 8.等比数列?an?的前n项和为Sn，若S4?2S2，则公比为（ ）
A.1 B.1或－1 C.
a2?a3等于（ ） a111或? D.2或－2 229.已知等比数列?an?的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为( )
A.15 B．17 C．19 D ．21
10.设{an}是公比为正数的等比数列，若a3?4,a5?16，则数列{an}的前5项和为（ ）
A．15 B．31 C．32 D．41
二、填空题
13.设等比数列{an}的前n项和为sn。若a1?1,s6?4s3，则a4= 14.已知等差数列?an?满足：a1??8,a2??6。若将a1,a4,a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比
数列，则所加的这个数为 。
15.等比数列?an?的公比q?0, 已知a2=1，an?2?an?1?6an，则?an?的前4项和S4= ___. 16.等比数列?an?的前n项和Sn=a?2?a?2，则an=_______. n三、解答题
17.（1）在等差数列{an}中，a1?a6?12,a4?7，求an及前n项和Sn； （2）在等比数列{an}中，S3?
7198,S6?,，求an． 22
18.为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林。据初步统计，到2012年
底库区的绿化率只有30%。计划从2013年开始加大绿化造林的力度，每年原来坡度在25°以上的坡荒面积的16%将被造林绿化，但同时原有绿化面积的4%还是会被荒化。设该地区的面积为1，2012年绿
3，经过一年绿化面积为a2，…，经过n年绿化面积为an?1. 104（I）试写出an?1与an的关系式，并证明数列{an?1?}是等比数列；
5化面积为a1?（II）问至少需要经过多少年努力，才能使库区的绿化面积超过60%？
19.已知等比数列{an}满足a3?12,a8?3,记其前n项和为Sn. 8（1）求数列{an}的通项公式an； （2）若Sn?93,求n.
20.在等比数列?an?中，a1?1,公比q?0，设bn?log2an，且b1?b3?b5?6,b1b3b5?0.
（1）求证：数列?bn?是等差数列； （2）求数列?bn?的前n项和Sn及数列?an?的通项公式； （3）试比较an与Sn的大小.
21.等比数列?an?的前n项和为Sn，S3?S6?2S9，求公比q。
22.设数列?an?的前n项和Sn，且(3?m)Sn?2man?m?3(n?N*). 其中m为常数，且m??3,m?0.
（Ⅰ）求证?an?是等比数列；
（Ⅱ）若数列?an?的公比q?f(m)，数列{bn}满足b1?a1,bn?求证{3f(bn?1)(n?N,n?2)， 21}为等差数列，并求bn. bn答案
一、选择题
1.A 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A 10.B 二、填空题
13.3 14.-1 15.三、解答题
17.解析：（1）数列?an?是等差数列，因此a1?a6?a3?a4?12， 由于a4?7
15 16.2n?1 2
?a3?5,?d?2?an?5?(n?3)?2?2n?1
n(n?1)又a1?1,?Sn?n??2?n2
2Sa1(1?q6)7a1(1?q3)3 （2）S3?? S6?98?由 6?1?q?28得q?3
21?q1?qS377所以a1?，an??3n?1
262618.解析：（I）设2012年坡度在25°以上的坡荒地面积为b1，经过n年绿化造林后坡荒地面积为
bn?1,则an?bn?1.
故an?1?96%an?16%bn?96%an?16%(1?an) 44an?52544444由an?1?an?,得an?1??(an?).
5255554414所以数列{an?1?}是以a1???为首项,为公比的等比数列.
5525414n （II）由（I）可知an?1???().
52541442若??()n?60%,则()n?.52555 4241610243642因为?,()2???,()??,5552525551255442562502451024625?22??,()?5??, ()?5625625555555442又y?()x是减函数,所以当n?5时,()n?.555?80%an?16%? 故至少需要5年才能使库区的绿化面积超过60%。
归纳等比数列的性质
