回扣10 概率与统计
1．牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式 P(A)＝
事件A包含的基本事件数m
；
基本事件总数n
②互斥事件的概率计算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； ③对立事件的概率计算公式 P(A)＝1－P(A)； ④几何概型的概率计算公式 P(A)
＝
构成事件A的区域长度?面积或体积?
试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?.
(2)抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样． ①从容量为N的总体中抽取容量为n的样n
本，则每个个体被抽到的概率都为；
N②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．
(3)统计中四个数据特征
①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；
②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；
③平均数：样本数据的算术平均数， 1
即x＝(x1＋x2＋…xn)；
n④方差与标准差
1
方差：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn
n
－x)2]． 标准差： s
＝
1
[?x1－x?2＋?x2－x?2＋…＋?xn－x?2]n.
(4)八组公式
①离散型随机变量的分布列的两个性质 (ⅰ)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(ⅱ)p1＋p2＋…＋pn＝1. ②期望公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn. ③期望的性质
(ⅰ)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (ⅱ)若X～B(n，p)，则E(X)＝np； (ⅲ)若X服从两点分布，则E(X)＝p. ④方差公式
D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为D?X?.
⑤方差的性质
(ⅰ)D(aX＋b)＝a2D(X)；
(ⅱ)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)； (ⅲ)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． ⑥独立事件同时发生的概率计算公式 P(AB)＝P(A)P(B)．
⑦独立重复试验的概率计算公式
kkPn(k)＝Cnp(1－p)nk.
－
⑧条件概率公式 P(B|A)＝
P?AB?
. P?A?
2．活用定理与结论 (1)直方图的三个结论 ①小长方形的面积＝组距×
频率
＝频率； 组距
②各小长方形的面积之和等于1； 频率
③小长方形的高＝，所有小长方形高的
组距1和为.
组距
(2)线性回归方程y＝bx＋a一定过样本点的中心(x，y)． (3)
利
用
随
机
变
量
K2
＝
^^^
n?ad－bc?2
来判断“两个分类
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大．
(4)如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P(μ－σ 1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和． 2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． 3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错． 4．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别 (1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生． (2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)． 5．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误． 1．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是( ) A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 答案 D 解析 总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选D. 2．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为( ) A．62,62.5 B．65,62 C．65,63.5 D．65,65 答案 D 解析 选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数．最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为(0.01＋0.20.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则0.4×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D. 3．同时投掷两枚硬币一次，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A．“至少有1个正面朝上”，“都是反面 朝上” B．“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上” C．“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上” D．“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上” 答案 C 解析 同时投掷两枚硬币一次，在A中，“至少有1个正面朝上”和“都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1个正面朝上”不发生时，“都是反面朝上”一定发生，故A中两个事件是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好一枚正面朝上，一枚反面朝上时，“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”能同时发生，故B中两个事件不是互斥事件；在C中，“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发 生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立的两个事件；在D中，当两枚硬币同时反面朝上时，“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”能同时发生，故D中两个事件不是互斥事件．故选C. 4．采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试，，则所选5名学生的学号可能是( ) A．1,2,3,4,5 B．5,26,27,38,49 C．2,4,6,8,10 D．5,15,25,35,45 答案 D 解析 采用系统抽样的方法时，即将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，据此即可得到答案．采用系统抽样间隔为 50 ＝5 10，只有D答案中的编号间隔为10.故选D. 5．道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线 须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为( ) A．0.95 B．0.05 C．0.47 D．0.48 答案 D 解析 由题意得小张路过该路口不等待的概率为 48 ＝0.48. 48＋47＋5 6．A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点 B，连接A，B两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( ) 21A. B. 3451C. D. 62答案 A 解析 在圆上其他位置任取一点B，设圆的半径为R，则B点位置所有情况对应的弧长 为圆的周长2πR，其中满足条件AB的长度2 大于等于半径长度的对应的弧长为·2πR， 3则弦AB的长度大于等于半径长度的概率P2 ·2πR32＝＝.故选A. 2πR3 7．有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( ) 1273A. B. C. D. 331010答案 C 解析 从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，2张卡片上的数字之积为偶数有7种，故所求概率P＝ 7 . 10 8．在如图所示的电路图中，开关a，b，c1 闭合与断开的概率都是，且是相互独立的， 2则灯亮的概率是( ) 1317A. B. C. D. 8848答案 B 解析 设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮事件D＝ABC∪ABC∪ABC，且A，B，C相互独立，ABC，ABC，ABC互斥，所以P(D)＝P(ABC∪ABC∪ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝ 11111 ××＋×22222 11113 1－?＋×?1－?×＝，故选B. ×??2?2?2?289．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表 收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得线性回归方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝y－bx.据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( ) A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 答案 B 解析 由题意知， x ＝ ^ ^ ^ ^^^ 8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9 ＝10， 5y＝ ^ 6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8 ＝8， 5 ∴a ＝8－0.76×10＝0.4， ∴当x＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 10．设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线(随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则P(μ－ ^ σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)如图所示，且P(X≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( ) A．6 038 B．6 587 C．7 028 D．7 539 答案 B 1 解析 由题意知，P(0 20.341 3，则落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×(1－0.341 3)＝6 587.故选B. 11．如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________． 答案 2 e2解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等， 由ex＝e，得x＝1，故阴影部分面积为 xx1S＝2?10(e－e)dx＝2(ex－e)|0 ＝2[e－e－(0－1)]＝2. 又该正方形面积为e2，故由几何概型的概率2公式可得所求概率为2. e 12．样本容量为1 000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6,14)内的频数为________． 答案 680 解析 根据给定的频率分布直方图可知，4×(0.02＋0.08＋x＋0.03＋0.03)＝1?x＝0.09，则在[6,14)之间的频率为4×(0.08＋0.09)＝0.68，所以在[6,14)之间的频数为1 000×0.68＝680. 13．已知x，y的取值如表所示. x 从散点图分析，y与x线性相关，且y＝0.95x＋a，则a＝________. 答案 2.6 ^ ^ ^ 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 解析 根据表中数据得x＝2，y＝4.5，又由线性回归方程知，其斜率为0.95，∴截距a＝4.5－0.95×2＝2.6. 14．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为η，若η的期望E(η)7 ＞，则p的取值范围是________． 410，? 答案 ??2? 解析 由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p， P(η＝3)＝(1－p)2，则E(η)＝p＋2(1－p)p＋751 3(1－p)2＝p2－3p＋3＞，解得p＞或p<， 42210，?. 又p∈(0,1)，所以p∈??2?^ 15．某工厂36名工人的年龄数据如下表. 工人编号 年龄 1 40 工人编号 年龄 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 工人编号 年龄 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 工人编号 年龄 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 (1)按编号用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； (2)计算(1)中样本的平均值x和方差s2； (3)求这36名工人中年龄在(x－s，x＋s)内的人数所占的百分比． 解 (1)根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人． 由题意可知，抽取的样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34， 对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由(1)， 得 x ＝ 44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37 ＝ 940， 1 s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋ 9(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝(3)由(2)，得x＝40，s＝ 100 . 9 10， 3 21 ∴x－s＝36，x＋s＝43， 33 由表可知，这36名工人中年龄在(x－s，x＋s)内的共有23人， 所占的百分比为 23 ×100%≈63.89%. 36 16．某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局2 获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影3响． (1)求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2 分的概率； (2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和期望． 解 (1)由题意知，乙每局获胜的概率皆为121－＝. 33 比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即前1211两局乙胜一局，3,4局连胜，则P＝C12····3333＝4 . 81 (2)由题意知，ξ的取值为2,4,6， 2?2?1?25 则P(ξ＝2)＝??3?＋?3?＝9， 112?2?220112??2P(ξ＝4)＝C1＋C＝， 2···2···33?3?33?3?8112?216 C1P(ξ＝6)＝?2··＝?33?81， 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 2 P 4 6 52016 98181 52016266 则E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝. 9818181
回扣10 概率与统计
