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2018年浙江省高中数学竞赛试卷
一、填空题
1.已知a为正实数，且f(x)?11是奇函数，则f(x)的值域为 ． ?xaa?120182.设数列{an}满足a1?1，an?1?5an?1(n?1,2,???)，则
?an?1n? ．
3.已知?,?????12??4?3????,??，sin?????，则cos????? ． cos(???)?，
4?134?5?4???4.在八个数字2，8，13中任取两个组成分数.这些分数中有 个4，6，7，11，12，既约分数．
?z?35.已知虚数z满足z?1?0，则???z?1?2018?1?????z?1?2018? ．
6.设AB?10，若平面上点P满足，对于任意t?R，有AP?tAB?3，则PA?PB的最小值为 ，此时PA?PB? ．
7.在?ABC中，AB?AC?7，且三角形的面积为4，则sin?A的最小值为 ． 8.设f(x)?x?1?x?x?2，则f(f(x))?1?0有 个不同的解． 9.设x,y?R满足x?6y?4x?y?12?0，则x的取值范围为 ． 10.四面体P?ABC，PA?BC?接球的半径为 ． 二、解答题
6，PB?AC?8，PC?AB?10，则该四面体外
x2?y2?1相交于不同的两点A，B.求11.已知动直线l与圆O：x?y?1相切，与椭圆922原点到AB的中垂线的最大距离.
12.设a?R，且对任意实数b均有maxx?ax?b?1，求a的取值范围.
x?[0,1]213.设实数x1，x2，…，x2018满足x2n?1?xnxn?2(n?1,2,???,2016)和?xn?1，证明：
n?12018x1009x1010?1.
14.将2n(n?2)个不同整数分成两组a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.证明
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1?i?n1?j?n?ai?bj?1?i?j?n?(aj?ai?bj?bi)?n.
15.如图所示将同心圆环均匀分成n(n?3)格.在内环中固定数字1n.问能否将数字1n填
入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？
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文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、填空题
5201980771156?1. (?,) 2. 3. ? 4. 36 5. ?1 161622656. ?16；6 7.
7 8. 3 9. 14?213?x?14?213 10. 23 二、解答题
11.解：依题意可设l：y?kx?m(k?0).
因为直线l与圆O相切，所以，O到直线l的距离为1，即m1?k2?1.
原点到AB的中垂线的最大距离为
24. 312.解1：设f(x)?x?ax?b，对于b?1?f(0)?1， 所以只要考虑b?1. （1）当?a?0时，即a?0.此时函数f(x)的最值在抛物线的左右端点取得，对任意b?12有f(1)?1?a?b?f(0)?b，所以f(1)?1?a?b?1， 解得a?1. （2）当0??a1?时，即?1?a?0，此时函数f(x)的最值在抛物线的顶点和右端点取得，22a?a2?1. 而对b?0有f(1)?1?a?1，f(?)?24（3）当
1a即?2?a??1，此时函数f(x)的最值在抛物线的顶点和左端点取得，???1时，
22a?a2?1. 而对b?0有f(0)?b?1，f(?)?24（4）当?a?1时，即a??2，此时函数f(x)的最值在抛物线的左右端点取得，对任意b?12有f(0)?b?1，所以f(1)?1?a?b??1，解得a??3. 综上a?1或a??3.
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解2：设m?maxx?ax?b，则有
x?[0,1]21?a?1?a?1，或a??3. m?b，m?1?a?b?2m?b?1?a?b?1?a依题意，213.证明：由条件xn，xn?2同号.反证法，假设x1009x1010?1.
（1）若x1009，x1010同为正数，由xn，xn?2同号可知x1，x2，…，x2018同号. 由xn?1?xnxn?2?2xn?1xn?2xxx??1009?1010?1011 xnxn?1x1008x1009x1010?x1009x1010?x1011x1008?x1011x1008?1，
同理
x1009x1009x1008x1011x1012x1012?x1007x1012?1. ?????x1007x1008x1007x1010x1011x1010类似可证明：x1006x1013?1，x1005x1004?1，…，x1x2018?1. 因此
?xn?12018n?1，矛盾.
（2）若x1009，x1010同为负数，由xn，xn?2同号可知x1，x2，…，x2018均为负数，仍然有
2xn?1?xnxn?2?xn?1xn?2?，类似（1）可证得. xnxn?114.证明：令Tn?1?i?n1?j?n?ai?bj?1?i?j?n?(aj?ai?bj?bi)，下面用归纳法证明Tn?n.
当n?2时，不妨设a1?a2，b1?b2，a2?b2.
T2?b2?a1?b2?a2?b1?a1?b1?a2?a2?a1?b2?b1，
当a1?b1?T2?b1?a1?b1?b2?b1?a2?2； 当a1?b1?T2?b2?a2?a1?b1?2. 假设对正整数n成立，对正整数n?1，不妨设
a1?a2?????an?1，b1?b2?????bn?1，an?1?bn?1.再设bk?an?1?bk?1，则有
Tn?1??bn?1?ai??an?1?bi??an?1?ai??bn?1?bi?bn?1?an?1?Tn，
i?1i?1i?1i?1nnnn- 4 -word版本可编辑.欢迎下载支持.
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nnnn下证
?bi?1n?1?ai??an?1?bi??an?1?ai??bn?1?bi?0.
i?1i?1i?1由（1）bk?an?1?bk?1(k?1,2,???,n)，得到
?bi?1nn?1?ai??an?1?bi??an?1?ai??bn?1?bi
i?1i?1i?1nnn?2?(bi?an?1)?0；
i?k?1n（2）若an?1?b1，则
n?bi?1nn?1?ai??an?1?bi??an?1?ai??bn?1?bi
i?1i?1i?1nnn??(bi?an?1)?0.
i?115.解：设对应于内环1，2，…，n的外环数字为i1，i2，…，in，它是数字1，2，…，n的一个排列.对k?1,2,???,n，记外环数字ik在按顺时针方向转动jk格时，和内环数字相同，即
ik?k?jkmodn，k?1,2,???,n.
根据题意，j1，j2，…，jn应是0，1，2，…，n?1的排列.求和
?(ik?k)??jkmodn?(0?1?2?????(n?1))modn?k?1k?1nn1n(n?1)modn. 2于是n必须是奇数.
对于奇数n，我们取in?n，im?n?m，(m?1,2,???,n?1)，可以验证
ik?k?jkmodn，
jn?0，jn?1?2，jn?2?4，…，jn?n?12?n?1，
j1?n?2，jn?1?n?4，j3?n?6，…，jn?1?1，
2符合题目要求！
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2020年浙江省高中数学竞赛预赛真题含答案
