自主招生(理科实验班)预录考试附答案
∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°， ∴∠ABG=∠EAP.
EPHQANGCFAGABM∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = .
EPEA
AGACB同理△ACG∽△FAQ，∴ = .
FPFAABACAGAG
∵AB=k AE，AC=k AF，∴ = =k，∴ = . ∴EP=FQ.
EAFAEPFP
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF
13、证明：连接MH、EH.则
有AD⊥BC，得MH=MA=MD，故∠MDH=∠MHD.
又M、D、H、E四点共圆，有 ∠MDH+∠MEH=180°. 又∠MHD+∠MHC=180° 故∠MEH=∠MHC
所以△MEH∽△MHC 所以MH2=ME·MC 从而AM2=ME·MC 故△AME∽△CMA
故∠MAE=∠ACM
故∠DME+∠DHE=∠DMC+∠DHE B=∠MAC+∠ACM+∠DHE =∠BAM+∠MAE+∠DHE =∠BAE+∠DHE
而∠DME+∠DHE=180°，故∠BAE+∠DHE=180° 故A、B、H、E四点共圆 故∠AEB=∠AHB= 90°.
14、解：（1）∵y?(x?m)?4m?8?m
22AMEDHC
∴由题意得，m?2 ··············································································· （3分） （2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN?y轴，设抛物线的对称轴与MN交于点B，则AB?3BM。设M(a,b)
∴BM?a?m(m?a)
2又AB?yB?yA?b?(4m?8?m)
?a2?2ma?4m?8?(4m?8?m2)
?a2?2ma?m2?(a?m)2
自主招生(理科实验班)预录考试附答案
∴(a?m)2?3(a?m) ∴a?m?∴BM?∴S
23 3，AB?3
AMN?11········· （3分） AB2BM??3?2?3?33定值 ·
22y B M N 0 A x （3）令y?0，即x?2mx?4m?8?0时，有
2m?2m2?4m?8x??m?(m?2)2?4 2222由题意，(m?2)?4为完全平方数，令(m?2)?4?n
即(n?m?2)(n?m?2)?4
∵m,n为整数， ∴n?m?2,n?m?2的奇偶性相同
?n?m?2?2?n?m?2??2∴?或?
n?m?2?2n?m?2??2??解得?综合得m?2
?m?2?m?2或?
?n?2?n??21(1?1)2?2 2
15、（1）根据题意可知：当x?1时，y?2x?2，且y? ?当x?1时，y?2 即a?b?c?2
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（2）
对任意实数x都有y?2x
22 ? ax?bx?c?2x总成立，即ax?(b?2)x?c?0恒成立
2 ? a?0， (b?2)?4ac?0
a?b?c?2?b?2??(a?c)
222 代入上式得a?c?2ac?0，即(a?c)?0
?(a?c)?0，故a?c-- ?b?2?2a-----------
21(x?1)2 2121 整理得(a?)x?(1?2a)x?a??0
22112 于是(a?)(x?1)?0 ?a?
221 a?b?c?4a?2，0?a?
2 当0?x?2时，ax?bx?c?2 ??2?a?b?c?0
16、略解：由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列an，a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数an=50n—30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=—30，bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570. 故共感染者人数为：(20?50n?30)n[50n?60?(?20n?570)](30?n)=8670，化简?22得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。
黄冈中学2014年自主招生(理科实验班)预录考试附答案
