urrurrurrm?n425urr?rr?m?2，n?5，m?n?4，∴cosm,n?u. 5mn25设二面角A?EB1?A1为?，则cos??cosm,n?∴设二面角A?EB1?A1的余弦值为25. 5urr25. 5（3）假设存在点M，设M?x,y,z?，∵CM??CA，???0,1?，
uuuuruuuruuuur?1?3∴?x?1,y,z?????1,0,2?，∴M?1??,0,2??∴EM???2??,?2,2???
??ur设平面A1B1E的一个法向量为m?1,3,0，
??211?∴1113???22?1?32??????4?2?2?42，得69?2?38??5?0.
即?3??1??23??5??0，∴??15CM1CM5?或?. 或??，∴
323CA3CA23
30．如图，已知四棱锥P?ABCD，底面ABCD为菱形，PA?平面ABCD，?ABC?60o，E,F分别是BC,PC的中点．
(1)证明：AE?PD；
(2)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为6，求二面角E?AF?C的余弦值．
2【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】
15． 5 (1)证明：由四边形ABCD为菱形，?ABC?60o，可得VABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE?BC．
又BC//AD，因此AE?AD．
因为PA?平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA?AE． 而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA?AD?A， 所以AE?平面PAD.又PD?平面PAD， 所以AE?PD．
(2)设AB?2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．
由(1)知AE?平面PAD，
则?EHA为EH与平面PAD所成的角． 在RtVEAH中，AE?3，
所以当AH最短时，?EHA最大， 即当AH?PD时，?EHA最大． 此时tan?EHA?AE36， ??AHAH2因此AH?2.又AD?2，所以?ADH?45o， 所以PA?2．
因为PA?平面ABCD，PA?平面PAC， 所以平面PAC?平面ABCD．
过E作EO?AC于O，则EO?平面PAC，
过O作OS?AF于S，连接ES，则?ESO为二面角E?AF?C的平面角， 在RtVAOE中，EO?AE?sin30o?33o，AO?AE?cos30?，
2232， 4又F是PC的中点，在RtVASO中，SO?AO?sin45o?又SE?EO2?SO2?3930， ??48432SO15?4?在RtV， ESO中，cos?ESO?SE5304即所求二面角的余弦值为15． 531．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点，点M在AD上，且AM?将VAED,VDCF分别沿DE,DF折叠，使A,C点重合于点P，如图所示2.
1AD，4
?1?试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明； ?2?求二面角M?EF?D的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）【解析】
（1）PBP平面MEF．证明如下：在图1中，连接BD，交EF于N，交AC于O，
6. 3
则BN?11BO?BD， 2411BD，PM?PD， 44在图2中，连接BD交EF于N，连接MN，在nDPB中，有BN??MNPPB．
QPB?平面MEF，MN?平面MEF，故PBP平面MEF；
（2）连接BD交EF与点N，图2中的三角形PDE与三角形PDF分别是图1中的RtnADE与RtnCDF，
?PD?PE，PD?PF，又PE?PE＝P，?PD?平面PEF，则PD?EF，又EF?BD，?EF?平面PBD，
则?MND为二面角M﹣EF﹣D的平面角．
可知PM?PN，则在RtnMND中，PM＝1，PN?2，则MN?PM2?PN2?3．
MN2?DN2?MD26在nMND中，MD＝3，DN?32，由余弦定理，得cos?MND?． ?2MN?DN36?二面角M． ﹣EF﹣D的余弦值为3
32．如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC，AA1?AB，D为BB1的中点.
EB1（I）若E为AB1上的一点，且DE与直线CD垂直，求的值；
AB1（Ⅱ）在（I）的条件下，设异面直线AB1与CD所成的角为45°，求直线DE与平面AB1C1成角的正弦
值.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】
（Ⅰ）证明：取AB中点M,连接CM，MD,有MD//AB1,
25 5
因为AC?BC，所以CM?AB, 又因为三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱， 所以平面ABC?平面ABB1A1, 又因为平面ABCI平面ABB1A1=AB, 所以CM?平面ABB1A1， 又因为DE?平面ABB1A1 所以CM?DE
又因为DE?CD,CDIMD?D,CD?平面CMD,CM?平面CMD, 所以DE?平面CMD，又因为MD?平面CMD, 所以DE?MD, 因为MD//AB1， 所以DE?AB1,
连接A1B,设A1B?AB1?O，因为ABB1A1为正方形，
所以A1B?AB1,又因为DE?平面AA1B1B,A1B?平面AA1B1B, 所以DE//A1B,
2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题24立体几何中的综合问题(解析版)
