４２中等数学第二届罗马尼亚数学大师杯数学竞赛第二届罗马尼亚数学大师杯数学竞赛（ＲＭＭ）于２００９年２月２６日一３月２日在罗马尼亚首都布加勒斯特举行。中国、美国、俄罗斯、保加利亚、英国、意大利、塞尔维亚、罗马尼亚（派出了三支队伍）共８个国家的１０支队伍参加了比赛。考试时间是５个小时，４个试题，每题７分，共２８分。我国派出了由领队熊斌（华东师大数学奥林匹克研究中心），副领队冯志刚（上海中学），队员宣炎、陈家豪（复旦大学附属中学），朱靓好、李弘毅（华东师范大学附属第二中学），阮丰、唐志皓（上海中学）组成的代表队参加了此次竞赛。共有５７名学生参加此次考试。有６名学生获得金牌（金牌分数线是２３分），１０名学生获得银牌（银牌分数线是１６分），２３名学生获得铜牌（铜牌分数线是１１分）。中国队成绩如下：唐志皓（２７分，金牌，第一名），陈家豪（２４分，金牌，第二名），宣炎（２３分，金牌，第三名（并列）），阮丰（２１分，银牌，第八名（并列）），李弘毅（１４分，铜牌），朱靓好（１０分）。中国队以７４分获得此次竞赛的团体第一名（按照每支代表队前三名成绩的和排列）。期间，还举行了庆祝国际数学奥林匹克５０周年的庆典活动。熊斌和冯志刚作为嘉宾参加了这次庆典并获得了纪念证书。１．对正整数ａｌ，口２，…。ａ＾，记ｊ０ｉ．证明：四条直线ＡｉＯ，共点或平行．４．对一个由正整数组成的有限集Ｘ，定义ｎ＝洲％二地）＿志‘令ｄ＝ｇｏｄ（ａｌ，ａ２，…，吼）表示ａｌ，ａ２，∑（ｘ）＝∑ａｒｃｔａｎｉ１．设一个由正整数组成的有限集Ｓ，满足…，。ｔ的最大公约数．证明：鲁（口．，．１，口。）是一个整数．２．一个由空间中的点组成的集合Ｓ满足性质：ｓ中任意两点之间的距离互不相同．假设ｓ中的点的坐标（菇，Ｙ，彳）都是整数，且ｌ≤石、Ｙ、名≤ｎ．证明：集合Ｓ的元素个数小于∑（ｓ）＜吾．证明：至少存在一个由正整数组成的有限集ｒ，使得ＳＣ丁，且∑（ｒ）＝号．参考答案１．设ａｌ＝ｄｘｌ，ａ２＝ｄｘ２，…，ａＩ＝ｄｘＩ．则（石ｌ，菇２，…，算＾）＝１．ｒａｉｎｌ（ｎ＋２）√詈，ｎ佰ｊ·３．在平面上给定任意三点不共线的四个点Ａ。、Ａ２、Ａ，、Ａ。，使得ＡｌＡ２。Ａ３Ａ４＝ＡｌＡ３’Ａ２Ａ４＝ＡｌＡ４’Ａ２Ａ３．由Ｂｅｚｏｕｔ定理知，存在整数ｌ／，ｌ，Ｉｔ２，…，‰，使得∑Ⅱｍ＝１．所以，∑毗哦＝ｄ．令记０；是△Ａ。４—４，的外心（｛ｉ，Ｊ，ｋ，Ｚ｝＝｛１，２，３，４｝）．假设对每个下标ｉ，都有Ａ；≠ｓｊ＝詈Ｌ？旭）２瓦而币＝丽ｉ可丌ｉ而可硼¨刮’＝研而＿志瑞百而硼“：ｌ，’Ｊ万方数据２００９年第６期２，…，☆）．考虑由ｏ。个１，ｎ２个２，口ｆ一。个ｉ—ｌ，毗一１个ｉ，口…个ｉ４－１，…，吼个ｋ这／／，一１个数组成的排列．易知这样的排列共有＆种．所以，５ｉ是整数．从而，詈（％．．．旭）＝毒警（％．．．地）＝喜ｕｉＳｉ是整数．２．记ＩＳＩ＝ｔ．则对任意的（菇。，Ｙｌ，＝１）、（筇２，Ｙ２，ｚ２）∈Ｓ，都有（茗Ｉ—Ｘ２）２＋（ｙｌ一，，２）２＋（ｚｌ一７．２）２≤３（，ｌ一１）２（因为满足１≤名、Ｙ、ｚ≤／７，的整点之间的距离不超过（１，ｌ，１）与（／２，，／７，，／７，）之间的距离），并且依题意Ｓ中任意两点之间的距离互不相同．故Ｃ２．≤３（ｎ—１）２，得ｔ２一ｔ≤６（／＇ｔ—１）２．于是，￡≤百１＋丢ｖ厂ｎ忑页ｉ１了＜ｎ拓（最后一个不等式等价于ｌ＋２４（ｒＩ—１）２＜（２ｎ拈一１）２，展开后移项即可得到）．另一方面，对Ｓ中的任意两点（筏，Ｙｉ，毛）、（≈，Ｙｊ，弓），考虑集合｛８，ｂ，ｃ｝（允许出现重复元素），这里，口＝ｌ石‘一％ｌ，ｂ＝Ｉ咒一乃Ｉ，ｃ＝Ｉ盈一刁Ｉ．依题意，所得的｛ｎ，ｂ，ｃ｝两两不同，且０≤口、ｂ、ｃ≤ｎ一１（ｏ、ｂ、ｃ不全为０）．于是，Ｃ：≤ｃ：＋２Ｃ．＋ｃ：一１．①故Ｃ２＜晓＋２《＋Ｃ：．解得ｔ＜丢＋冉丐忑瓦鬲．当剃时＇有ｔ＜（Ⅲ孵（这只需证明：｛＋冉巧蕊妯㈣冉’．甘百１＋了１ｎ（死＋１）（凡＋２）万方数据４３≤【…２垢一再展开后移项即知此不等式在／／，ｔ＞３时成立）．于是，当ｎｔ＞３时，总有…ｉｎ｛（Ⅲ）‘冉，ｎ佰）．②而当ｎ＝１时，ｔ＝１；当ｎ＝２时，由式①知ｔ≤３．Ｉ比时．式⑦位．成屯．命题获证．３．若四个点ＡＩ、Ａ２、Ａ３、Ａ４构成一个凹四边形，不妨设Ａ４在△ＡｌＡ２Ａ３中，如图１．Ａ：．作△ＡｌＡ３Ｐ∽图ｌ△ＡＩＡ２Ａ４．则么Ａ３ＡｌＰ＝么Ａ４Ａ１Ａ”于是，么Ａ４ＡｌＰ＝么Ａ：Ａ。Ａ３，且ＡＩｌ—Ａｌ垒！ＡｌＡ３一ＡｌＡ２。则△ＡＩ＝争Ａ４尸＝等＝４３４４．Ａ２Ａ３∽△Ａ。Ａ。Ｐｊ爱告＝会÷乏又赢Ａ３Ｐ＝丽Ａ２Ａ４，则妒＝笃半＝州。．因此，Ａ３Ｐ＝Ａ４Ｐ＝Ａ３Ａ４，即△Ａ３Ａ４Ｐ是正三角形．故么ＡＩＡ２Ａ４＋么ＡＩＡ３Ａ４＝么ＡＩＡ３Ｐ＋么ＡＩＡ３Ａ４＝６０。．同理，么Ａ３Ａ２Ａ４＋／Ａ３ＡｌＡ４＝０，么Ａ２ＡｌＡ４＋么Ａ２Ａ３Ａ４＝６００．设么ＡｌＡ２Ａ４＝口，么Ａ２Ａ３Ａ４＝ｐ，么Ａ３ＡｌＡ４＝ｙ．贝ｌＪ｜么ＡｌＡ３Ａ４＝６０。一口，么Ａ２ＡｌＡ４＝６０。一ｐ，么Ａ３Ａ２Ａ４＝６００－－’，．。如图２，因为０。是△Ａ：Ａ，Ａ。的外心，所以．ｚ二Ａ４Ａ２０ｌ＝９０。一卢．：于是，ｚ二ＡｌＡ２０ｌ＝９００＋ａ—ｐ．同理，Ｏｌｚ二Ａ２Ａ３０２图２＝０＋ｐ—ｙ，么Ａ３Ａ１０３＝９０。＋ｙ—ａ．又么Ａ４Ａ３０ｌ＝９０。一么Ａ４Ａ２Ａ３＝３０。＋７，则么ＡＩＡ３０ｌ＝９００＋ｙ一口．同理，么Ａ２Ａ１０２＝０＋口一ｐ，么Ａ３Ａ２０３＝９００＋ｐ—ｙ．由角元塞瓦定理得ｓｉｎ么Ａ２Ａ１０１ｓｉｎ／Ａ３Ａ２０Ｉｓｉｎ／ＡｌＡ３０１．豳／０ＩＡｌＡ３ｓｉｎ／０ｌＡ２ＡＩｓｉｎ／０ＩＡ３Ａ２一“因为么０。Ａ３Ａ２＝么０ｌＡ２Ａ３，所以，ｓｉｎ么Ａ２Ａ１０ｌｓｉｎ么０ｌＡ２ＡＩｓｉｎ么Ａ３Ａｌ０ｌ—ｓｉｎ么０ｌＡ３ＡＩ同理，厕ｓｉｎ，么Ａ３Ａ２０２＝慧荆，一一ｓｉｎ（９０。＋口二ｊ＆．一ｓｉｎ（９００＋ｙ一口）‘ｓｉｎ么ＡｌＡ３０３ｓｉｎ（９００＋ｙ一口）ｓｉｎ么Ａ２Ａ３０３一ｓｉｎ（９０。＋ｐ一７）’以ｉｓｉｎ么＾２Ａ１０ｌ压丽忑一ｓｉｌｓｉｎ／Ａ３Ａ２０２么０２Ａ２Ａ！ｉ－压ｓｉｎＬＡ．Ａ，０，．ｉ丽．ＪＪ：１·因此，Ａ。０。、Ａ：０：、Ａ，０，三线共点（或者互相平行）．若四个点Ａ。、Ａ：、Ａ，、Ａ。构成一个凸四边形ＡｌＡ２Ａ３Ａ４，类似可得Ａｌ０１、Ａ２０２、Ａ３０３三线共点（或者互相平行）．同理，Ａ。０。、Ａ：０：、Ａ。０。三线共点（或者互相平行）．综上，四条直线Ａ。０ｉ共点或平行．４．注意到，当ｔａｎ口、ｔａｎｐ都为有理数万方数据中等数学时，ｔａｎ（口＋ｐ）＝芒三三专夥也为有理数．因此，细（∑（ｓ））为有理数．熟知∑百在ｎ一＋∞时是发散的，故对ｋ任意的正整＝数ｌ１戈，和数丢＋石１万＋…＋专随着正整数Ｙ的增大可以任意大．结合口、卢（口＞ｐ）都是锐角时，ｔ锄（口一卢）＝者笔专等是＜ｔ锄口一咖卢，可知ｔａｎ（ｉｓ）一蜘÷一嘲矗一·一嘲专）＜詈一（｛＋孺１＋…＋了１）随着，，的增大可以任意小（ｔ锄（∑（ｓ））＝詈，ｐ、ｑ为互质的正整数），而石一１为Ｓ中的最大元．因此，存在正整数，，≥戈一１，使得ｏ≤口＝∑（ｓ）一ａｒｃ胁｛一ａｒｃ胁点一一一眦胁了＜眦咖可。１ｌ依如下方式来定义集合ｒ．首先取丁＝ｓ，在ｏ＜口时，设ｔａＩｌ口＝宝（ｐ。、ｑ。为互质的正整数）．则存在正整数ｆ，使忖了１一ｐｏｑ。＜击．将￡加入集合丁，则￡大于原来Ｔ中的最大元，并有ｍ（口一●咖÷）２嚣２糍，—Ｐ——ｏ——．．．—１—这里，Ｐｏ‘一ｑｏ＜Ｐｏ．再用口一ａｒｃｔａｎ÷代替ａ重复上述讨论，可知每次在Ｔ中增加一个元素后，所得的新的ｔａｎ口的分子严格减小，除非口＝０．因此，存在满足条件的集合丁．。（熊斌提供）第二届罗马尼亚数学大师杯数学竞赛
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：
熊斌
中等数学
HIGH-SCHOOL MATHEMATICS2009，(6)0次
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx200906008.aspx
下载时间：2010年3月21日
第2届罗马尼亚大师杯数学竞赛
