图解5-12 (a) Bode图 (b) Nyquist图 5-13 试根据奈氏判据，判断题5-80图(1)～(10)所示曲线对应闭环系统的稳定性。已知曲线(1)～(10)对应的开环传递函数如下（按自左至右顺序）。
解 题5-13计算结果列表 闭环 题 稳定备开环传递函数 号 性 注 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 0 -1 0 -1 0 0 1/2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 1 2 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 稳定 稳定 不稳定 不稳 定 5-14 已知系统开环传递函数，试根据奈氏判据，确定其闭环稳定的条件：
1 -1/2 G(s)?K； (K,T?0)
s(Ts?1)(s?1)（1）T?2时，K值的范围； （2）K?10时，T值的范围； （3）K,T值的范围。
K?K(1?T)??j(1?T?2) 解 G(j?)???X(?)?Y(?)
j?(1?j?)(1?jT?)?(1??2)(1?T2?2)1令 Y(?)?0，解出??，代入X(?)表达式并令其绝对值小于1
T1?T1得出： 0?K? 或 0?T?
TK?1??321（2）K?10时，0?T?；
9（3）K,T值的范围如图解5-14中阴影部分所示。
（1）T?2时，0?K?；
5-15 已知系统开环传递函数
试概略绘制幅相特性曲线，并根据奈氏判据判定闭环系统的稳定性。
解 作出系统开环零极点分布图如图解5-15（a）所示。G(j?)的起点、终点为：
G(j?)与实轴的交点： 令Im?G(j?)??0 可解出
代入实部 Re?G(j?0)???4.037
概略绘制幅相特性曲线如图解5-15（b）所示。根据奈氏判据有 所以闭环系统不稳定。
5-16 某系统的结构图和开环幅相曲线如图5-81 (a)、(b)所示。图中 试判断闭环系统稳定性，并决定闭环特征方程正实部根个数。 解 内回路开环传递函数:
s2G0(s)?G(s)H(s)?
(s?1)4大致画出G0(j?)的幅相曲线如图解5-16所示。可见G0(j?)不会包围（-1,j0）点。
即内回路小闭环一定稳定。内回路小闭环极点（即开环极点）在右半S平面的个数为0。
由题5-16图(b)看出:系统开环频率特性包围（-1,j0）点的圈数 N=-1。根据劳斯判据
系统不稳定，有两个闭环极点在右半S平面。
5-17 已知系统开环传递函数 试根据奈氏判据确定闭环系统的稳定性。
解 作出系统开环零极点分布图如图解5-17(a)所示。
G(j?)的起点、终点为：
幅相特性曲线G(j?)与负实轴无交点。由于惯性环节的时间常数T1?0.2，小于不稳定惯性环节的时间常数T2?1，故?(?)呈现先增大后减小的变化趋势。绘出幅相特性曲线如图解5-17(b)所示。根据奈氏判据 表明闭环系统不稳定。
5-18 已知单位反馈系统的开环传递函数，试判断闭环系统的稳定性。
解 作出系统开环零极点分布图如图解5-18(a)所示。当??0??变化时，
G(j?)的变化趋势：
绘出幅相特性曲线G(j?)如图解5-18(b)所示。根据奈氏判据 表明闭环系统不稳定。
5-19 已知反馈系统，其开环传递函数为
100
s(0.2s?1)50 (2) G(s)?
(0.2s?1)(s?2)(s?0.5)10 (3) G(s)?
s(0.1s?1)(0.25s?1)s100(?1)2 (4) G(s)? sss(s?1)(?1)(?1)1020 (1) G(s)?试用奈氏判据或对数稳定判据判断闭环系统的稳定性，并确定系统的相角裕度
和幅值裕度。
100100?
s(0.2s?1)s(s?1)5????5?100?22.36画Bode图得：?C
???g?? 解 (1) G(s)? 图解5-19 (1) Bode图 Nyquist
图
(2) G(s)?5050?
(0.2s?1)(s?2)(s?0.5)(s?1)(s?1)(2s?1)52画Bode图判定稳定性：Z=P-2N=0-2×(-1)=2 系统不稳定。
由Bode图得：?c?6
50令： G(j?)?1? 解得 ?c?6.3
?c?c??2?c52?g?g?tg?1?tg?12?g??1800 解得 ?g?3.7 令： ?G(j?g)?tg?152图解5-19 (2) Bode图
Nyquist图
(3) G(s)?1010?
s(0.1s?1)(0.25s?1)s(s?1)(s?1)104???C?4?10?6.325画Bode图得：????g?4?10?6.325s100(?1)2 (4) G(s)? sss(s?1)(?1)(?1)1020??c?21.5画Bode图得：?
??13.1?g???180????(?c)??24.8? ??h?0.343??9.3(dB)???00 系统临界稳定。 ?h?1? 图解5-19 (3) Bode图 Nyquist图
系统不稳定。
图解5-19(4) 5-20 设单位反馈控制系统的开环
传递函数为
试确定相角裕度为45°时的α值。
1?(a?)2?10?(tga??180) 解 G(j?)??2?开环幅相曲线如图所示。以原点为圆心作单位圆，在Ａ点：
42即： ?c?a2?c?1 (1)
要求相位裕度 ??1800??(?c)?450
即： ?(?c)?tg?1a?c?180??450?1800??1350
a?c?1 ?(2)
联立求解（1）、（2）两式得：?c?1.19， a?0.84。
5-24 某最小相角系统的开环对数幅频特性如图5-82所示。要求 （1） 写出系统开环传递函数； （2） 利用相角裕度判断系统的稳定性；
（3） 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。 解（1）由题5-29图可以写出系统开环传递函数如下： （2）系统的开环相频特性为 截止频率 ?c?0.1?10?1 相角裕度 ??180???(?c)?2.85?
故系统稳定。
（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程后，可得系统新的开环传递函数
其截止频率 ?c1?10?c?10
而相角裕度 ?1?180???(?c1)?2.85??? 故系统稳定性不变。由时域指标估算公式可得
?oo?0.16?0.4(1?1)=?1oo
sin?所以，系统的超调量不变，调节时间缩短，动态响应加快。
5-25 对于典型二阶系统，已知参数?n?3，??0.7，试确定截止频率?c和相角裕度?。
解 依题意，可设系统的开环传递函数为
绘制开环对数幅频特性曲线L(?)如图解5-25所示，得
5-26 对于典型二阶系统，已知?％=15％，ts?3s，试计算相角裕度?。 解 依题意，可设系统的开环传递函数为
2???oo?15oo?e???1??依题 ?
??ts?3?3.5??n???0.517联立求解 ?
??2.257?n2.2572?有 G(s)?s(s?2?0.517?2.257)2.1824
ss(?1)2.333绘制开环对数幅频特性曲线L(?)如图解5-26所示，得 5-27 某单位反馈系统，其开环传递函数
试应用尼柯尔斯图线，绘制闭环系统对数幅频特性和相频特性曲线。 解 由G(s)知：20lg16.7=24.5db 交接频率：?1?ω |G|db 111?1.25 , ?2??4 , ?3??16 0.80.250.062510 20 30 40 50 60 70 80 100 7 2 -3 -7 -10 -13 -16 -20 应用尼柯尔斯曲线得： 0.01 0.05 0.1 0.3 0.6 3 -15 -2 4 13 19 24 15 88 85 83 70 54 -23 -94 -127 -143 -151 -156 -160 -163 -164 -166 M (db) -15 -4.5 -2 -.75 -0.6 -0.5 0 1.8 4.3 2.3 -3.4 -7.5 -11 -16 -20 69 48 30 12 5 -1 -11 -28 -53 -110 -140 -152 -158 -162 -165 图解5-27 Bode图 Nyquist图 5-28 某控制系统，其结构图如图5-83所示，图中 试按以下数据估算系统时域指标σ％和ts
图5-83 某控制系统结构图 （1）γ和ωc
（2）Mr和ωc
（3）闭环幅频特性曲线形状
。
《自动控制原理》 卢京潮主编 课后习题答案 西北工业大学出版社
