一、灰色预测模型
简介（P372）
特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。
优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。
缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。
1、GM(1,1)预测模型
GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 1.1模型的应用 ①销售额预测
②交通事故次数的预测
③某地区火灾发生次数的预测
④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库）
⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 1.2步骤
①级比检验与判断
由原始数据列x(0)?(x(0)(1),x(0)(2),L,x(0)(n))计算得序列的级比为
x(0)(k?1)?(k)?(0),k?2,3,L,n.
x(k)?2n?1 若序列的级比?(k)∈ ??(e 光滑比为
,e2n?2)，则可用x(0)作令人满意的GM(1,1)建模。
p(k)?x(0)(k)?xi?1k?1
(0)(i) 若序列满足
p(k?1)?1,k?2,3,L,n?1;p(k)
p(k)??0,??,k?3,4,L,n;
??0.5.精选文库
则序列为准光滑序列。
否则，选取常数c对序列x(0)做如下平移变换
序列y(0)的级比
y(0)(k)?x(0)(k)?c,k?1,2,L,n,
y0(k?1)?y(k)?(0)??,k?2,3,L,n.
y(k) ②对原始数据x(0)作一次累加得
（），1x(0)（）1+x(0)(2),L,x(0)(1)?L?x(0)(n)). x(1)?(x(1)(1),x(1)(2),L,x(1)(n))?(x(0) 建立模型:
dx(1)?ax(1)?b, （1） dt
③构造数据矩阵B及数据向量Y
??z(1)(2)??1??x(0)(2)??(1)??(0)??z(3)??1?,Y??x（3）? B?????????????????????M?MM????(1)(0)????z(n)??????x(n)??(k?1),k?2,3,L,n. 其中：z(1)(k)?0.5x(1)(k)?0.5x(1） ④由
???a?????(BTB)?1BTY u??b??= ?= b 求得估计值a ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为
???ak??(0)bb??(k?1)??x(1)??e?，k?0,1,L,n?1,L, x????aa??(1) 则模型还原值为
?(0)(k?1)?x?(1)(k?1)?x?(1),k?1,2,L,n?1,L. x ⑥精度检验和预测
残差
—
?(0)(k),k?1,2,L,n, ?(k)?x(0)(k)?x2
精选文库
相对误差
相对误差精度等级表
精度等级相对误差一级（优）0.01二级（良）0.05三级（合格）0.1四级（不合格）0.2 ??|?(k)| (0)x(k) 级比偏差
?(k)?1???1?0.5a???(k),
1?0.5a?? 若?(k)<0.2则可认为达到一般要求；若?(k)<0.1，则可认为达到较高要求。 利用matlab求出模型的各种检验指标值的结果如表
序号1年份原始值预测值残差相对误差级比偏差 经过验证，给出相应预测预报。
2、新陈代谢模型
灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推移
相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。 与GM(1,1)模型相比，既能充分发挥传统GM(1,1)模型仅利用少量数据, 就能获得较高预测精度的优点,又能反映出数据的变化趋势, 从而使预测结果的精度获得更进一步的提高。局限性在于该模型适合预测具有较强指数规律的序列, 只能描述单调变化的过程。 2.1模型的应用
①深圳货运量预测；（下载文档）
②天津市城市人均住宅建筑面积及非农业户籍人口总数预测（下载文档）； ③网络舆情危机预警（下载文档）。 2.2步骤
①建立新陈代谢数据序列
原始数据列x(0)?(x(0)(1),x(0)(2),L,x(0)(n))，用最新信息x(0)(n?1)替换最初数据x(0)(1)，即得到新陈代谢数据序列y(0)?(x(0)(2),L,x(0)(n),x(0)(n?1))。 ②后续步骤同GM(1,1)模型。
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3
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③用②计算出的最新结果再次替换最初信息x(0)(2)得到新序列重复步骤②，以此类推，将计算结果制表并分析。
3、波形预测
波形预测, 是对一段时间内行为特征数据波形的预测。当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时，可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化, 以便进行决策。从本质上来看,波形预测是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。 3.1 模型的应用
①区域降水量预测（下载文档）
②运量需求不平衡航线下客流量预测（下载文档） ③网络舆情危机预警（下载文档） 3.2步骤
①求出序列折线
由原始数据列x?(x(1),x(2),L,x(n))得出序列X的k段折线图形为
序列X的折线为
xk?x(k)?(x??k)?x(k?1)?x(k)?
?x1?k?nk?x(k)?(x??k)?x(k?1)?x(k)|k?1,2,L,n?1??
②选取等高线
令?max?max?x(k)?,?min?min?x(k)?则有
1?k?n?0??min,?1?(?max??min)??min,L,?1?(?max??min)??min,L,
1sis?s?s?1(?min??max)??min,?s??max(i?0,1,2,L,s)s
如果xk的i段折线上有?等高点，则坐标为(i? ③等高点的计算
??x(i)x(i?1)?x(i),?)。
解方程xk=γ得到折线xk与γ的交点x(0)(i)=(xi?,x(xi?))(i?1,2,L)，即γ等高点。 ④x(0)(i)构成等高时刻序列，求出各等高时刻序列的GM(1,1)预测。 ⑤得出波形预测
画出波形图，并分析。
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4、Verhulst模型
Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即S型过程。常用于人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等。（例如B题艾滋病疗法的评价及治疗预测） 4.1步骤
①模型的建立
对原始数据x(0)?(x(0)(1),x(0)(2),L,x(0)(n))作一次累加得
（），1x(0)（）1+x(0)(2),L,x(0)(1)?L?x(0)(n)). x(1)?(x(1)(1),x(1)(2),L,x(1)(n))?(x(0) 令z(1)(k)?0.5x(1)(k)?0.5x(1)(k?1),k?2,3,L,n,得x(1)的均值生成序列为
z(1)?(z(1)(2),z(1)(3),L,z(1)(n)).
则得到灰色Verhulst模型为
x(0)?az(1)?b(z(1))2
灰色Verhulst模型的白化方程为
dx(1)?ax(1)?b(x(1))2 （2） dt ②参数求解
构造数据矩阵B及数据向量Y
??z(1)(2)??z(1)(2)??2??x(0)(2)??(1)?(0)?(1)2??z(3)???z(3))?,Y??x（3）? B?????????????????????????M?MM?????(1)(1)2(0)????z(n)???z(n))???x(n)?????a?????(BTB)?1BTY u??b? 由
?= ?= b 求得估计值a ③解微分方程（2）得灰色Verhulst模型的时间序列响应为
?(0)(1)ax, x(k?1)?(0)?(0)ak????bx(1)?ebx(1)??a??(1) 通过累减还原得
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?(0)(k?1)?x?(1)(k?1)?x?(1)(k). x5
数学建模之灰色预测模型
