§3-7 阅读（有理函数和三角函数有理式的积分法） 135 §3-7 阅读(有理函数和三角函数有理式的积分法)
在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分.在那里，因为被积函数都很特殊，所以用“拼凑的方法”就求出了它们的积分.这一节讨论的是一般情形下，如何求它们的积分.当你遇到那些简单或特殊的情形时，当然不必用这里的一般方法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了.
1.有理函数的积分法 有理函数的积分
p(x)dx [其中p(x)和q(x)都是多项式] q(x)?总可以积出来，即可把它表示成初等函数.积分方法的要点是：
第一，若有理函数p(x)q(x)中，分子p(x)的次数不低于分母q(x)的次数，则称它为假分式.在这种情形下，就用多项式除法（见下面例27），先把它变成一个多项式与一个真分式之和，即
p(x)r(x) [其中分子r(x)的次数低于分母q(x)的次数] ?s(x)?q(x)q(x)于是，
??p(x)dx?s(x)dx?q(x)??r(x)dx q(x)右端第一项是多项式的积分(用分项积分法可以积出来)，所以就变成求有理函数真分式的积
r(x)dx. 关于多项式除法，请看下面的例题. 分
q(x)例27 例如求有理函数假分式的积分
x5?x?2dx
3x2?6首先像做整数除法那样，做多项式除法：
? 由此可得
25（除式）3 x?6x?0?0?0?x?2(被除式)
132x?x （商式） 33
x5?0?2x3?2x3?0?x?2?2x3?0?4x 3x?2 (余式)
x5?x?2?132?3x?2??x?x??2
3?3x?63x2?6?3其次再逐项积分，即
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136 第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法 ?x5?x?2?132?dx??x?x?dx?3?3x2?6?3??3x?21412dx?x?x?1233x2?6?3x?2dx
3x2?6这样就变成求(右端最后一个)有理函数真分式的积分.
第二，对于真分式r(x)q(x)，先把分母上的多项式q(x)分解成一次因式或没有实根的二次因式的乘积(根据代数基本定理，这是可能的).然后用待定系数法(或拼凑方法)把
r(x)q(x)化成不超出下面这些“最简分式”的和：
ABCx?DEx?F(n和m为正整数) ,,,x?a(x?b)nx2?px?q(x2?rx?s)m(分子比分母上的基因式低一次)
这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分. 我们用例子来说明上述方法.
⑴分母为一次重因式的真分式的积分法
5x2?3dx，可令 例28 例如求
(x?2)3?5x2?3ABC???
(x?2)3x?2(x?2)2(x?2)3将右端通分，并比较两端分子，即5x2?3?A(x?2)2?B(x?2)?C，则得三元线性方程组
?????于是得
A?5（x2的系数）?A?5?4A?B?0（x的系数）， 解得?B??20
?C?234A?2B?C?3（常数项）?5x2?352023 ???323x?2(x?2)(x?2)(x?2)因此，
5x2?3dx?3(x?2)??5dx?x?2?20dx?2(x?2)?232023dx?5lnx?2?? 32x?22(x?2)(x?2)【注1】上面求待定系数的方法是比较两端x的同次项系数，下面是求待定系数的另一个方法：根据5x2?3?A(x?2)2?B(x?2)?C，则
第一步，让x??2，得C?23；
第二步，在5x2?3?A(x?2)2?B(x?2)?C两端关于x求导数，得10x?2A(x?2)?B. 再令
x??2，得B??20；
第三步，在10x?2A(x?2)?B两端关于x求导数，则得10?2A，即A?5.
5x2?3【注2】把真分式化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法:
(x?2)35x2?323?(5x?10)?, x?2x?2 136
§3-7 阅读（有理函数和三角函数有理式的积分法） 137 5x2?35x?10232023???5?? x?2(x?2)2x?2(x?2)2(x?2)25x2?352023 (你看懂了吗?) ???(x?2)3x?2(x?2)2(x?2)3⑵分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法
cx?ddx，可令 例如求
(x?a)(x?b)?cx?dAB??（A和B为待定系数）
(x?a)(x?b)x?ax?b然后根据恒等式cx?d?A(x?b)?B(x?a)，求出待定系数A和B.于是，
?解 设
cx?ddx?(x?a)(x?b)?Adx?x?a?Bdx?Aln|x?a|?Bln|x?b| x?b例29 求
?x?2dx.
(x?3)(x?5)x?2AB?? (A,B为待定常数)
(x?3)(x?5)x?3x?5则得x?2?A(x?5)?B(x?3)，即
(A?B)x?(5A?3B)?x?2
比较两端常数项和x的系数，则得线性方程组
?5A?3B?2 ??A?B?1解得A??,B?123 (求A和B的另一个方法见下注).因此， 213?x?2?2?2
(x?3)(x?5)x?3x?5从而得
?1x?2dx??2(x?3)(x?5)?13d(x?3)?x?32?113d(x?5)??lnx?3?lnx?5 x?52212【注】在式x?2?A(x?5)?B(x?3)中，让x?3，则得1??2A，所以A??；再让x?5，则得3?2B，所以B?.
⑶分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法 例如[注意,分母没有实根(p2?4q?0)]，
32(1)?1dx?2x?px?q??x?p??4q?p212dx????2??1du22u?A?4q?p2p?u?x?,A??22??? ??4 137
138 第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法 (套用积分公式)?1u22x?parctan? arctan22AA4q?p4q?pbax?badx?a(2)2dx(a?0)?a22x?px?qx?px?q??x???2b(2x?p)????a2x?px?q?p??dx
a?2??d(x2?px?q)a?2b???p??2?ax2?px?q??1dx
x2?px?qaa?2b?ln(x2?px?q)???p?22?a??1dx(套用前一题的结果).
x2?px?q⑷分母为二次重因式的真分式的积分法
x3?2x2?1例30 例如求积分dx.若用待定系数法，就令
(x2?x?1)2?x3?2x2?1Ax?BCx?D ??22222(x?x?1)x?x?1(x?x?1)若不用待定系数法，可依次用多项式除法：
x3?2x2?12(x?2)?(x?3)?2第一步，2；
x?x?1x?x?1x3?2x2?1x?32(x?2)第二步，2 ??2222(x?x?1)x?x?1(x?x?1)于是，
?x3?2x2?1dx?(x2?x?1)2?x?3dx?x2?x?1?2(x?2)dx 22(x?x?1)其中右端第一个积分
x?31dx?x2?x?12??(2x?1)?71d(x2?x?1)7dx dx??22x2?x?12x2?x?12?1??3?x??????2???2???1722x?1?ln(x2?x?1)??arctan2233
而第二个积分
?2(x?2)dx?22(x?x?1)?(2x?1)?3dx?22(x?x?1)?d(x2?x?1)1?3dx 2222(x?x?1)(x?x?1)???11?3dx[套积分公式⒇] 22(x2?x?1)2?1??3?????x??????2??2???????⑸分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法
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§3-7 阅读（有理函数和三角函数有理式的积分法） 139 bx2?cx?d例如，求dx时，可令
(x?a)(x2?px?q)?bx2?cx?d(x?a)(x2?px?q)然后根据恒等式
?Bx?CA ?2x?ax?px?qbx2?cx?d?A(x2?px?q)?(Bx?C)(x?a)
求出待定系数A、B和C. 于是，
?Bx?Cbx2?cx?d?Aln|x?a|?dxdxx2?px?q (x?a)(x2?px?q)?(注意x2?px?q没有实根,即p2?4q?0)
2.三角函数有理式的积分法 所谓“三角函数有理式”，是指由常数和简单三角函数sinx与cosx经过有限次的有理运算(加、减、乘、除)得到的函数，记成R(sinx,cosx).下面介绍的是形如积分
?R(sinx,cosx)dx
的积分法.例如积分
?cosx11dxdxdx(ab?0)等. ，，
2sinx?cos2x2sinx?cosx?1a?bcosx??实际上，我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分.这里介绍的是一般方法.你在做题时，．．．．．还是要具体问题具体分析，未必就一定要用这里介绍的方法（因为一般情形下，这里介绍的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
方法要麻烦一些）.
令t?tanx(称它为半角替换或万能替换)，则 22tanxx2tanxxxx2?2?2t sinx?2sincos?2tancos2?222221?t2x2xsec1?tan22x1?tan21?t22x2x2x2x2cosx?cos?sin?cos(1?tan)?? 222221?t2x1?tan22dx?d(2arctant)?dt 21?t于是，
?R(sinx,cosx)dx??
?2t1?t2?2R?,dt 22?2?1?t1?t?1?t这样，三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分.在有些情形下，像前面做过的那样，不
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有理函数和三角函数有理式的积分法
