2020年高考数学一轮复习知识点总结：数列与三角函数

数列

考试内容： 数列．

等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式． 考试要求：

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．

§03. 数 列 知识要点 数列的定义 项 数列的有关概念 项数 数列 数列的通项 通项 数列与函数的关系 等比数列的定义 等差数列的定义 等比数列的通项 等差数列的通项 等比数列 等差数列 等比数列的性质 等差数列的性质 等比数列的前n项和 等差数列的前n项和 定义 递推公式 通项公式 中项 等差数列 an?1?an?d an?an?1?d；an?am?n?md an?a1?(n?1)d 等比数列 an?1?q(q?0) anan?an?1q；an?amqn?m an?a1qn?1（a1,q?0） G??an?kan?k(an?kan?k?0)A?an?k?an?k2（n,k?N*,n?k?0） 前n项和 Sn?n(a1?an) 2（n,k?N*,n?k?0） ?na1(q?1)?Sn??a11?qn a1?anq?(q?2)?1?q?1?qn(n?1)Sn?na1?d 2??重要性质 * am?an?ap?aq(m,n,p,q?N, m?n?p?q)等差数列 am?an?ap?aq(m,n,p,q?N*,m?n?p?q)1. ⑴等差、等比数列： 定义 等比数列 {an}为A?P?an?1?an?d(常数） {an}为G?P?an?1an ?q(常数）通项公式 an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-d an?a1qn?1?akqn?k 求和公式 n(a1?an)n(n?1)?na1?d22 d2d?n?(a1?)n22sn? A=(q?1)?na1?sn??a1(1?qn)a1?anq

?(q?1)?1?q1?q?中项公式 a?b2 推广：2an=an?m?an?m G2?ab。推广：an?an?m?an?m 2若m+n=p+q，则aman?apaq。 若{kn}成等比数列 （其中kn?N），则{akn}成等比数列。 性质1 2 若m+n=p+q则 am?an?ap?aq 若{kn}成A.P（其中kn?N）则{akn}也为A.P。

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①an?an?1?d(n?2,d为常数)

3 4 ．sn,s2n?sn,s3n?s2n 成等差数列。 sn,s2n?sn,s3n?s2n成等比数列。 d?an?a1am?an?(m?n) n?1m?nqn?1?ana1 ， qn?m?an am(m?n) 5 ②2an?an?1?an?1(n?2) ③an?kn?b(n,k为常数).

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①an?an?1q(n?2,q为常数,且?0)

2?an?1?an?1(n?2，anan?1an?1?0)②an①

注①：i. b?ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b?acii. b?ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. b??ac→为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b??ac且ac?0→为a、b、c等比数列的充要.

a、b、c等比数列.

注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个. ③an?cqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x?1）成等比数列.

?s1?a1(n?1)⑷数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an??

s?s(n?2)n?1?n[注]： ①an?a1??n?1?d?nd??a1?d?（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.

dd??d??②等差{an}前n项和Sn?An2?Bn???n2??a1??n →可以为零也可不为零→为等差

2?2?2??的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） ．．2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k倍Sk,S2k?Sk,S3k?S2k...； ②若等差数列的项数为2nn?N2

???，则S偶?S奇?nd，SS奇偶?anan?1；

?n n?1③若等差数列的项数为2n?1n?N?，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，S奇 ?代入n到2n?1得到所求项数. 3. 常用公式：①1+2+3 …+n =②12?22?32??n2?n?n?1? 2??S偶n?n?1??2n?1?

62③13?23?33?n3???n?n?1??? 2??[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…?an?10n?1； 5，55，555，…?an?5n10?1. 9??4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1?r. 其中第n年产量为a(1?r)n?1，且过n年后总产量为：

2n?1a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)a[a?(1?r)n]?.

1?(1?r)⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1?r)n元. 因此，第二年年初可存款：

121110a(1?r)?a(1?r)?a(1?r)a(1?r)[1?(1?r)12]?...?a(1?r)=.

1?(1?r)⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.

a?1?r??x?1?r?mm?1?x?1?r?m?2?......x?1?r??x?a?1?r?mx?1?r?m?1ar?1?r?m??x?

r?1?r?m?15. 数列常见的几种形式：

⑴an?2?pan?1?qan（p、q为二阶常数）?用特证根方法求解.

具体步骤：①写出特征方程x2?Px?q（x2对应an?2，x对应an?1），并设二根x1,x2②若x1?x2nn可设an.?c1xn1?c2x2，若x1?x2可设an?(c1?c2n)x1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.

⑵an?Pan?1?r（P、r为常数）?用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an?2?Pan?1?qan的形式，再用特征根方法求an；④an?c1?c2Pn?1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.

①转化等差，等比：an?1?x?P(an?x)?an?1?Pan?Px?x?x?②选代法：an?Pan?1?r?P(Pan?2?r)?r???an?(a1??Pn?1a1?Pn?2?r???Pr?r.

r. P?1rr)Pn?1??(a1?x)Pn?1?x P?1P?1③用特征方程求解：

an?1?Pan?r??an?1?an?Pan?Pan?1?an?1?（P?1）an?Pan?1. ?相减，an?Pan?1?r?rrrr，c2?a1?，an?c2Pn?1?c1?（a1?）Pn?1?. 1?PP?1P?11?P④由选代法推导结果：c1?6. 几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前n项和为Sn，在d?0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：

一是求使an?0,an?1?0，成立的n值；二是由Sn?d2dn?(a1?)n利用二次函数的性质求n22的值.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依

111照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1?,3,...(2n?1)n,...

242⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第

一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an?an?1(an)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an?122an?1?an?an?2(an?1?anan?2)n?N都成立。

3. 在等差数列｛an｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当a1>0,d<0时，满足??am?0的项数

?am?1?0?am?0m使得sm取最大值. (2)当a1<0,d>0时，满足?的项数m使得sm取最小值。在解

a?0?m?1含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

（三）、数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

?c? 2.裂项相消法:适用于??其中{ an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部

aa?nn?1?分无理数列、含阶乘的数列等。

?bn?是各项不为0的等比数列。 3.错位相减法:适用于?anbn?其中{ an}是等差数列，

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

1）: 1+2+3+...+n =

n(n?1) 222） 1+3+5+...+(2n-1) =n

?1? 3）13?23???n3??n(n?1)?

?2? 4） 12?22?32???n2?21n(n?1)(2n?1) 65）

1111111???(?)

n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?2