?1(b?a)2max{|f''(?1)|,|f''(?2)|}. 4所以至少存在一点??(a,b)，使得
|f??(?)|?4|
f(b)?f(a)|
(b?a)2§2.3 导数的应用
（甲）内容要点
一、判断函数的单调性 二、函数的极值
1、定义 设函数f?x?在?a,b?内有定义，x0是?a,b?内的某一点，则
如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x?x?x0?，总有f?x??f?x0?，则称f?x0?为函数f?x?的一个极大值，称x0为函数f?x?的一个极大值点；
如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x?x?x0?，总有f?x??f?x0?，则称f?x0?为函数f?x?的一个极小值，称x0为函数f?x?的一个极小值点。 函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。 2、必要条件（可导情形）
设函数f?x?在x0处可导，且x0为f?x?的一个极值点，则f??x0??0
我们称满足f??x0??0的x0为f?x?的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。 3、第一充分条件
设f?x?在x0处连续，在0 0 1 如果在?x0??,x0?内的任一点x处，有f??x??0，而在?x0,x0???内的任一点x 处，有f??x??0，则f?x0?为极大值，x0为极大值点； 20 如果在?x0??,x0?内的任一点x处，有f??x??0，而在?x0,x0???内的任一点x 处，有f??x??0，则f?x0?为极小值，x0为极小值点； 30 如果在?x0??,x0?内与?x0,x0???内的任一点x处，f??x?的符号相同，那么f?x0?不是极值，x0不是极值点 44 4、第二充分条件 设函数f?x?在x0处有二阶导数，且f??x0??0，f???x0??0，则 当 f???x0??0，f?x0?为极大值，x0为极大值点 当 f???x0??0，f?x0?为极小值，x0为极小值点 三、函数的最大值和最小值 1．求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的方法。 首先，求出f(x)在(a,b)内所有驻点，和不可导点x1,...,xk。 其次计算f(x1),...,f(xk),f(a),f(b) 最后，比较f(x1),...,f(xk),f(a),f(b)，其中最大者就是f(x)在[a,b]上的最大值M；其中最小者就是f(x)在[a,b]上的最小值m。 2．最大（小）值的应用问题 首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。 四、凹凸性与拐点 1．凹凸的定义 设f(x)在区间Ⅰ上连续，若对任意不同的两点x1,x2，恒有 f(x1?x2x?x211)?[f(x1)?f(x2)] （f(1)?[f(x1)?f(x2)]），则称f(x)在Ⅰ上2222是凸（凹）的 2．曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 五、渐近线及其求法 六、函数作图 七、曲率 （乙）典型例题 一、证明不等式 例1．求证：当x?0时，(x?1)lnx?(x?1) 证：令f(x)?(x?1)lnx?(x?1) 2222 45 只需证明x?0时，f(x)?0 易知f(1)?0，f?(x)?2xlnx?x?2?1， xf'(1)?0，由于f?(x)的符号不易判断，故进一步考虑 f??(x)?2lnx?1?1，f??(1)?2?0 x22(x2?1)再考虑f???(x)? x3于是，当0?x?1时，f???(x)?0； 当1?x???时，f???(x)?0 由此可见，f??(1)?2是f??(x)的最小值。 由于f??(x)?2?0，这样x?0时，f?(x)单调增加 又因为f?(1)?0，所以0?x?1时，f?(x)?0； 1?x???时，f?(x)?0。 再由f(1)?0，可知0?x?1时，f(x)?0； 1?x???时，f(x)?0，这样证明了x?0时，f(x)?0。 证二：令f(x)?lnx?x?1（自己思考） x?1证三：令f(x)?(x?1)lnx?(x?1)（自己思考） 例2 设b?a?0，求证：lnb2(b?a)? ab?a证：令f(x)?(lnx?lna)(x?a)?2(x?a),(x?a) 46 则f?(x)?1(x?a)?(lnx?lna)?2 x?a1x?af???x??2??2?0 (x?a) xxx于是可知f?(x)在x?a时单调增加，又f?(a)?0，∴x?a时f?(x)?0，这样f(x)单调增加。因此，b?a?0时f(b)?f(a)?0，得证。 例3 设e?a?b?e2，证明ln2b?ln2a?4e2(b?a) 证一：对函数f(x)?ln2x在[a,b]上用拉格朗日中值定理 ln2b?ln2a?2ln??(b?a) （a???b） 再来证明?(t)?lntt在t?e时单调减少 ∵ ?'(t)?1?lntt2?0(t?e) 从而?(?)??(e2)，即ln???lne22e2?e2 故ln2b?ln2a?4e2(b?a) 证二：设g(x)?ln2x?4lnx4e2x，则g'(x)?2x?e2 g''(x)?2?1?lnxx2 当x?e时，g??(x)?0，故g?(x)单调减少 g?(x)?g?(e2)?4e2?4e2?0 因此e?x?e2时，由g?(x)?0可知g(x)单调增加 题设e?a?b?e2，于是g(b)?g(a) 故ln2b?4e2b?ln2a?4224e2a，即lnb?lna?e2(b?a) 47 二、有关函数的极值 例1、设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 [ ] （A）一个极小值点和两个极大值点 （B）两个极小值点和一个极大值点 （C）两个极小值点和两个极大值点 （D）三个极小值点和一个极大值点 例2 设f(x)的导数在x?a处连续，又limf?(x)x?ax?a??1，则[ ] （A）x?a是f(x)的极小值点 （B）x?a是f(x)的极大值点 （C）(a,f(a))是曲线y?f(x)的拐点 （D）x?a不是极值点，(a,f(a))也不是曲线y?f(x)的拐点 例3 设y?f(x)有二阶导数，满足xf??(x)?3x[f?(x)]2?1?e?x 求证：f?(x0)?0时，f(x0)为极小值 证：（1）x0?0情形。 f??(x1?e?x0?x0?0,1?e?x0?0?0)?x?0??x? 故f(x0)为极小值 0?x0?0,1?e0?0?（2）x0?0情形 这时方程条件用x?0代入不行，无法得出上面的公式 ∵ f??(x)存在 ∴ f?(x)连续，linx?0f?(x)?f?(0)?0 f??(0)?limf?(x)?f?(0)x?0x?0?limf?(x)f??(x)（用洛必达法则） x?0x?limx?01?x ?lim{1?e1?e?xx?0x?3[f?(x)]2}?limx?0x （再用洛必达法则） ?lime?xx?01?1?0 ∴f(0)是极小值 三、最大（小）值的应用题（略） 48
高等数学讲义-- 一元函数微分学
