第2章 3.2
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
x2y2
1．(2009年天津卷)设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲
ab线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x C．y＝±2x 2
B．y＝±2x 1
D．y＝±x
2
解析： 由题意知，2b＝2,2c＝23，则b＝1，c＝3，a＝2；双曲线的渐近线方程为
y＝±2x. 2
答案： C
2．以椭圆＋＝1的焦点为焦点，离心率为2的双曲线的方程为( )
259A.
－＝1 124
x2y2
x2y2
B.－＝1 412D.
－＝1 279
x2y2
C.－＝1 927
x2y2x2y2
c4
解析： 由＋＝1得双曲线的焦点为(±4,0)，所求双曲线的离心率为e＝＝＝2，
259aa∴a＝2
∴b＝c－a＝16－4＝12， 故双曲线的方程为－＝1.
412答案： B
3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 44C.－＝1 48
2
2
2
x2y2
x2y2
x2y2y2x2
B.－＝1 44D.－＝1 84
y2x2x2y2
用心 爱心 专心 - 1 -
?a＝2，
解析： 由方程组?2a＋2b＝2·2c，
?a＋b＝c，
2
2
2
得a＝2，b＝2.
∵双曲线的焦点在y轴上， ∴双曲线的标准方程为－＝1.
44答案： B
y2x2
x2y2
4．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线
ab交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A.6 C.2
B.3 D.3 3
2343
解析： 由题意，得|F1F2|＝2c，|MF2|＝c，|MF1|＝c.
3323
由双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝c＝2a，
3所以e＝＝3.故选B. 答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．双曲线mx＋y＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为________． 解析： 由双曲线方程mx＋y＝1，知m＜0，则双曲线方程可化为y－
2
2
2
2
2
ca＝1，则a＝1，1－
x2
2
ma＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，
112
∴b＝2，∴－＝b＝4，∴m＝－. m41
答案： － 4
6．双曲线以椭圆＋＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，则双曲线
925的方程为________．
4
解析： 双曲线的焦点为(0，±4)，又椭圆的离心率为，
5
x2y2
c848∴＝，即＝， a5a5
用心 爱心 专心
- 2 -
5∴a＝.
2
25394y4x∴b＝16－＝，故方程为－＝1.
442539
2
2
2
4y4x答案： －＝1
2539
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求双曲线4x－y＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
解析： 将4x－y＝4变形为x－＝1，
4即2－2＝1. 12
∴a＝1，b＝2，c＝5.
因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)，焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)
实半轴长是a＝1，虚半轴长是b＝2. 离心率e＝＝
2
2
2
2
2
22
y2
x2y2
ca5
＝5， 1
渐近线方程为y＝±x＝±2x，作草图如图．
422
8．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，并且焦点都在圆x＋y＝100上，求双曲线方程．
3
bax2y2
解析： 方法一：(1)当焦点在x轴上时，设双曲线方程为2－2＝1，因为渐近线方程为
ab4b4y＝±x，则＝，
3a3
又由焦点在圆x＋y＝100上知c＝10， 所以a＋b＝c＝100，可求得a＝6，b＝8. 所求双曲线方程为－＝1.
3664
2
2
22
2
x2y2
y2x2
(2)当焦点在y轴上时，设双曲线方程为2－2＝1.
aba＋b＝c＝100，??
由题设得?a4
＝.??b3
y2
x2
2
2
2
解得a＝8，b＝6.
所求双曲线方程为－＝1.
6436
用心 爱心 专心
- 3 -
综上可知，所求双曲线方程为－＝1或－＝1.
366464364
方法二：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
3设双曲线方程为2－2＝λ(λ≠0)．
34
x2y2y2x2
x2y2
x2y2
在已知渐近线方程的情况下，利用双曲线系方程2－2＝λ(λ≠0)求双曲线方程较为方
ab便．
尖子生题库
☆☆☆
x2y223
9．(10分)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和点B(a,0)
ab3
的直线与原点的距离为
3
，求此双曲线的方程． 2
解析： 直线AB的方程为：＋＝1，即bx－ay－ab＝0，根据原点到此直线的距离为
a－b3
，得 2
|－ab|
＝2
32222
，即4ab＝3(a＋b)，① 2
2
xya2＋b23b42
又e＝，即e＝1＋2＝，②
3a3
??a＝3，
解①②组成的方程组，得?2
?b＝1，?
2
所以双曲线方程为－y＝1. 3
x2
2
用心 爱心 专心 - 4 -
高中数学 2-3.2课后练习同步导学 北师大选修1-1
