§8.5 空间向量及其运算
最新考纲 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
1．空间向量的有关概念
名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量 2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量． (3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
→→
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b
概念 模为0的向量 长度(模)为1的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 表示 0 a＝b a的相反向量为－a a∥b 1
π
的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，
2记作a⊥b. ②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
数量积 共线 垂直 模 夹角
概念方法微思考
1．共线向量与共面向量相同吗？
提示 不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量． 2．零向量能作为基向量吗？
提示 不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．
3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？
提示 无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
2
向量表示 a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0) |a| 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝坐标表示 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22a21＋a2＋a3 a1b1＋a2b2＋a3b322222a21＋a2＋a3·b1＋b2＋b3
(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × )
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )
→→→→
(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.( √ ) (6)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．( × ) 题组二 教材改编
→→2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD→→
＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
11
A．－a＋b＋c
2211
C．－a－b＋c
22答案 A
→→→→1→→
解析 BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)
2111
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
222
3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________． 答案
2
11
B.a＋b＋c 2211
D.a－b＋c 22
→→→→→
解析 |EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2
→→→→→→→→→＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，
→
∴|EF|＝2，∴EF的长为2. 题组三 易错自纠
4．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( ) A．垂直 C．异面 答案 B
→→
解析 由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，
B．平行
D．相交但不垂直
3
→→→→
∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD. 5．已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝________. 答案 26
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0， ∴x＝2，∴|b|＝?－4?2＋22＋22＝26.
→3→1→→
6．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝OA＋OB＋tOC，若P，A，B，C
48四点共面，则实数t＝______. 1
答案
8
解析 ∵P，A，B，C四点共面， 311∴＋＋t＝1，∴t＝. 488
题型一 空间向量的线性运算
→→例1 如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA1＝a，AB＝b，→
AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
→(1)AP； →→(2)MP＋NC1.
解 (1)因为P是C1D1的中点， →→→→所以AP＝AA1＋A1D1＋D1P →1→＝a＋AD＋D1C1
21→1
＝a＋c＋AB＝a＋c＋b.
22(2)因为M是AA1的中点， →→→1→→
所以MP＝MA＋AP＝A1A＋AP
2
4
11
a＋c＋b? ＝－a＋?2?2?11
＝a＋b＋c. 22
→→→1→→又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1
21→→1
＝AD＋AA1＝c＋a， 22
111→→
a＋b＋c?＋?a＋c? 所以MP＋NC1＝??22??2?313
＝a＋b＋c. 222
思维升华 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
→→→
跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用AB，AD，AA1→→
表示OC1，则OC1＝________________.
1→1→→答案 AB＋AD＋AA1
22
→1→1→→解析 ∵OC＝AC＝(AB＋AD)，
22→→→1→→→
∴OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1
21→1→→＝AB＋AD＋AA1. 22
→→→
(2)如图，在三棱锥O —ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，→→
用a，b，c表示NM，则NM等于( )
5
2020届高考步步高数学(理)一轮复习(京津鲁琼用解析版)第八章 8.5
