不等式的解法(独门绝招6)

不等式的解法

独门绝招（6）

一、 绝对值不等式

四类绝对值不等式的等价转化与活用.

Ⅰ、形如|f(x)|?a，|f(x)|?a(a?R)型不等式.

① 等价转化：|f(x)|?a???a?f(x)?a

|f(x)|?a?f(x)??a或f(x)?a

② 活用：①若a=0, |f(x)|?a?

|f(x)|?a? ②若a?0呢？ 对应练习 1、（04辽18）设全集U?R，

(1)解关于x的不等式|x?1|?a?1?0(a?R)；

(2)记（1）的解集为A，集合{ x |sin( ? x ? ? 3 ) + 3cos(?x??3)?0}，若BCUA恰三个元素，

求a.

Ⅱ、形如|f(x)|?g(x)，|f(x)|?g(x)型不等式. ①等价转化：|f(x)|?g(x)? |f(x)|?g(x)?

②g(x)可以是负的吗？要对g(x)的正负、0分类吗？

对应练习

2、解不等式（1）|x?1|?2?x

（2）|3x?5|?4x

Ⅲ、形如|f(x)|?f(x)，|f(x)|?f(x)型不等式 等价转化：|f(x)|?f(x)? |f(x)|?f(x)? 对应练习

3、 解不等式|x1?x|?x1?x（高考题）

Ⅳ、形如|f(x)|?|g(x)|?h(x)或

|f(x)|?|g(x)|?h(x)型不等式

① 等价转化：|f(x)|?|g(x)|?h(x)

???|f(x)?g(x)|?h(x)?|f(x)?g(x)|?h(x) |f(x)|?|g(x)|?h(x)

?|f(x)?g(x)|?h(x)或|f(x)?g(x)|?h(x)

② 以前通常是怎样解的？

对应练习 4、（1）|x?2|?|x?3|?13 （2）|x?4|?|x?3|?5 二、一元二次不等式

1、ax2?bx?c?0(a?0)的解是 ??0会怎么样？ ??0结果怎么理解？

2、ax2?bx?c?0(a?0)的解是

??0呢？ ??0呢？

3、ax2?bx?c?0(a?0)或

ax2?bx?c?0(a?0)怎么处理？

对应练习 5（1）（06福04理）已知全集U?R， A??x||x?1|?2?，B??x|x2?6x?8?0? 则(CUA)B= （ ）

A.[-1,4) B.(2,3） C (2，3] D.(-1,4)

（2）（06江03）若a>0,b>0,则不等式

?b?1x?a，等价于 （ ）

A.?1b?x?0或0?x?1a B.?1a?x?1b

C. x??11

a或x?b D x??1b或x?1a

三、指数不等式——利用函数的单调性

形如af(x)?ag(x)的不等式

①若a?1，原不等式的解?f(x)?g(x) ①若0?a?1，原不等式的解?f(x)?g(x)对应练习

6、解不等式(12)2x?3?23x?2。 7、（06重15）设0?a?1，函数 f(x)?alg(x2?2x?3)有最大值，则不等式

loga(x2?5x?7)?0的解集为

1.(1)①若a?1,解集为R,②若a?1,解集为 ?x|x?ax?2?a? (2)?1?a?0

2.(1)(1,??),(2)(527,??) 3.(-1,0) 4(1)(-6,7) (2)x<-6或x>-1 6.(1,??) 7.(2,3)

四、对数不等式——利用函数的单调性

形如logaf(x)?logag(x)的不等式 ①若a?1，原不等式? ??g(x)?0 ?f(x)?0

??f(x)?g(x)

?g(x)?0②若0?a?1，原不等式? ?? f (x ) ? 0

?

?f(x)?g(x)对应练习

8、（07江苏8）设f(x)?lg(21?x?a)是奇函数，

则使f(x)?0的x的取值范围是 （ ） A (?1,0) B.(0,1) C.(??,0) D.(??,0)

9、（06江苏16）log2(x?1x?6)?3的解集为

10、（浙0603）已知0?a?1，logam?logan?0，则 （ ） A 1?n?m B.n?m?1 C.m?n?1 D.m?1?n

五、图象、方程破解不等式

（1）方程比不等式易解 （2）图像能直观地看出不等式的解来，两相结合，很多不等式可迎刃而解。 711、解不等式

2?|2x?5|?7

5解：在同一坐标系中 2分别作函数 y?2,y?|2x?5|,y?7

13的图像。解方程|2x?5|?2,|2x?5|?7得交点横坐标依次为：?1,3,722,6。由数形结合知，不等式的解为：[?1,32)(72,6]

12、不等式|x?1|?x 的解集是 .

13、解不等式x2?1?|2x?1| 解：在同一坐标系中分别作 函数y?x2?1,y?|2x?1|的图像。 解方程x2?1?|2x?1|?x?2。 易见不等式的解为

14、求使不等式|x?4|?|x?3|?a有解的a的取值范围。

作： y ? |x ? 4| ? |x ? 3| ?

???2x?7(x?3)?1(3?x?4)

??2x?7(x?4)的图及y?a的图，

易见a?1时，不等式

|x?4|?|x?3|?a有有解。

15、已知|x?1|?|12x?1|?a的解集为R，求实

数a的最大值。 ?解：令 ?32x(x?2)

y? |x ? 1| ? | 12 x ? 1| ? ?? x ? 2 ( ? 1 ? x ? 2) 其图像 ?2 ?3??2x(x??1)如右，易知当

y?a?32时原不

等式恒成立， a max ? 3

216、不等式log2x?x?3的解集为 （ ）

A、（0，2） B、（2，3） C、（??，2） D （2，??）

六、含参一元二次不等式的讨论策略 Ⅰ、优先步骤

（1）对二次项系数a分类：①a?0 ②a?0 ③a?0（转化为一次不等式）

（2）对不等式的判别式?进行分类： ①??0 ②??0 ③??0 （3）对不等式的两根进行分类：

①x1?x2 ② x1?x2 ③x1?x2 ④x1、x2同号（同正、同负） ⑤x1、x2异号。 对应练习

17、解关于x的不等式x?ax?a2?0(a?R)。

18、解关于x的不等式 （1）x2?ax?1?0; （2）(m?1)x2?4x?1?0

9.(-3-22,-3+22)∪{1} 12. x?113. (??,?1?3)(2,??) 17.①2a<0时, a

? ⑤a>1时, a

x?②m≠-1时 按 ??0,??0,??0分类讨论,

4?19、（06全II文21）已知a?R，二次函数 f(x)?ax2?2x?2a，设不等式f(x)?0的解集为A，又知集合B??x|1?x?3?，若AB??，

求a的取值范围。

Ⅱ、对称轴是定的，区间是动的。

20、设f(x)?x2?2x?1在区间[t,t?1]上的最小值是g(t)，求g(t)的表达式。

（这类问题——把定看成动，把动看成静） （1）对称轴在区间的右边；（2）对称轴在区间的左边；（3）对称轴在区间内，进行分类讨论

21、（陕0615）已知函数f(x)?ax2?2ax?4 (0?a?3)。若x1?x2，x1?x2?1?a，则（ ） A D f. ( x1)?f(x2)B.f(x、1)?f(x2)C.f(x1)?f(x2) f ( x1 ) f (x 2 ) 的大小关系不确定。

Ⅲ、对称轴是动的，区间是定的。 22、设二次函数f(x)?x2?ax?3，当?2?x?2时，恒有f(x)?a成立, 求a的取值范围. （这类问题的分类方法同上）

Ⅳ、对称轴是动的，区间也是动的。23、设a?0，函数 f (x ) ?? 1

x 2? (3 ? a ) x ? 2 的最大值M(a)的函数表达式。其中2

f(x)的定义域是[0,2a],求M(a).

（此类问题分类方法也是（1）对称轴在区间的右边。（2）左边。（3）区间内部，进行分类讨论）

七、 不等式的恒成立、能成立 与恰成立问题

在近几年的高考中，常出现不等式的恒成立、能成立与恰成立问题，同学们常因分不清它们的实质而出错，下面分析一下它们的实质. ㈠ 不等式的恒成立问题

不等式f(x)?A在区间D上恒成立?函数f(x)在区间D上的最小值大于A，即在区间D上?f(x)?min?A；

不等式f(x)?B在区间D上恒成立?函数f(x)在区间D上的最大值小于B，即在区间D上?f(x)?max?B；

24、（2006江西）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－

23与x＝1时都取得极值

（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2）若对x?〔－1，2〕，不等式f（x）?c2恒成立，求c的取值范围。 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f?（x）＝3x2＋2ax＋b

由 f ?(?23)?129－43a＋b＝0,f?(1)?3?2a?b?0? a=－12,b??2f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数 f（x）的单调区间如下表：

x222

(-?,-)-3(-3,1)1(1,+?) f/(x)+3-+ 00

f(x)极大极小f(-23)f(1)所以函数f（x）的递增区间是（－?，－23）与

（1，＋?）递减区间是（－ 2 ，1） （2）f（x）＝x3－132x2－2x＋c，x?〔－1，2〕

，

f（-

23）＝2227＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，

为最大值。要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2?f（2）＝2＋c，解得c?－1或c?2

㈡不等式的能成立问题

在区间D上存在实数x使不等式f(x)?A成立(即f(x)?A在区间D上能成立),?函数

f(x)在区间D上的最大值大于A(即在区间D

上?f(x)?max?A)；

在区间D上存在实数x使不等式f(x)?B成立(即f(x)?B在区间D上能成立),?函数

f(x)在区间D上的最小值小于Ｂ(即在区间D

上?f(x)?min?B)．

19.(6x2?2 (t?0)7,??)(??,?2) 20g(x)???????t2 (0t??0)t?1)

2?2t?1 (?22.[-7,2]

23.?2?6 (1?a?M(a)???2 (a2a2)a?3) ??12a2?2a?132 (0?a?1?2?a?3)25、若关于x的不等式x2?ax?a??3的解集不是空集，求实数a的取值范围。

解：设f(x)?x2?ax?a，则关于x的不等式x2?ax?a??3的解集不是空集?f(x)??3在R上能成立??f(x)?min?f(a2)??a2?4a4??3. 解得a??6,或a?2．故实数a…

㈢不等式的恰成立问题

不等式f(x)?A在区间D上恰成立?不等式f(x)?A的解集为Ｄ；

不等式f(x)?B在区间D上恰成立?不等式f(x)?B的解集为Ｄ．

26、已知f(x)?x2?2x?ax，当x?[1,??)时，f(x)的值域是[0,??)，求实数a的值．

分析：本题相当于f(x)?x2?2x?ax?0的

解集为{x|x?1}，是一个不等式的恰成立问题．

解：（１）当a?0时，x?[1,??)，

?f(x)?x2?2x?ax?x?ax?2?3．这与f(x)的值域是[0,??)矛盾，?a?0不成立． （２）当a?0时， f(x)?x2?2x?ax?x?ax?2．

?f'(x)?1?ax2?0．?f(x)在[1,??)上是增

函数，?f(x)?min?f(1)．令f(1)?0，得

1?a?2?0，即a??3．故a??3．

不等式的恒成立、能成立与恰成立问题的实

质及求解方法，希望同学们以后遇到此类问题时，能仔细分析作答，而不是盲目做题．

八、不等式高考题展示

1.(08天津）已知函数f(x)??x??x?2 2 xx??00，

则不等式f(x)?x2的解集是 ( ) A [?1,1] B.[?2,2] C.[?2,1] D.[?1,2]

2.（08江西）若

0?a1?a2,0?b1?b2,且a1?a2?b1?b2?1则下列代数式中值最大的是 ( ) A a1b1?a2b2 B．a1a2?b1b2

C．a11b2?a2b1 D．2 3.（08陕西）“ a?18”是

“对任意的正数x，2x?ax≥1”的 （ ）

A 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.（08浙江）已知a，b都是实数，那么“a2?b2”是“a>b”的 ( ) （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件

D）既不充分也不必要条件

5.（08海南）已知a1?a2?a3?0，则使得(1?aix)2?1(i?1,2,3)都成立的x取值范围是 （ ） A.(0,1a) B (0,2) C.(0,1) D.(0,2)

1a1a3a3

6.（08山东卷）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围 .

7.（08江苏）已知x,y,z?R?x?2y?3z?0，则 y2，

xz的最小值 ． 8.（08江西）不等式2x?3x?1?12的解集为

．

9.（08广东）已知a?R，若关于x的方程x2?x?|a?14|?|a|?0有实根，则a的取值

范围是 ．

10、（05重庆）不等式组

?log的解集为

2(|xx?2?2|1)??21A.(0,3) B.(3,2) C (3,4) D.(2,4) ( )

6.（5，7） 7.3 8.(??,?3](0,1] 9. ??1??0,4??11、（05山东理11）0?a?1，下列不等式一定成立的是 （ ） A,log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?2

B.log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)

C.log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) D.log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)

12、（05江西17）已知函数 f ( x ) ? x2ax ? b（a,b为

常数），且方程f(x)?x?12?0有两个实根 x1?3,x2?4

（1）求函数f(x)的解析式。

（2）设k?1，解关于x的不等式f(x)?(k?1)x?k2?x

13、（05全国I文）已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)??2x的解集为(1,3). （1）若方程f(x)?6a?0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；

（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。

14、（05天津文21）已知m?R，设P：x1和x2是方程x2?ax?2?0的两个实根，不等式

m2?5m?3?x1?x2对任意实数a?[?1,1]恒成立；Q：函数f(x)?x3?mx2?(m?43)x?6在

(??,?)上有极值。

求使P正确且Q正确的m的取值范围。

12.(1)f(x)?x22?x

（2）①当1?k?2时，解集为(1,k)(2,??)

②当k?2时，(1,2)(2,??)

③当k?2时，(1,2)(k,??)

13、（1）f(x)??15x2?65x?35

（2）(??,?2?3)(?2?3,0) 14、(??,?1)(4,5][6,??)