专题32 尺规作图问题
1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。 2.尺规作图的五种基本情况： （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作已知线段的垂直平分线； （4）作已知角的角平分线； （5）过一点作已知直线的垂线。 3.对尺规作图题解法：
写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。 4.中考要求：
（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.
（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形. （3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.
（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.
专题典型题考法及解析
【例题1】（2019?湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（ ）
专题知识回顾
A．20° 【答案】B
【解析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．
在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， 由作图可知MN为AB的中垂线， ∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°。
【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
B．30°
C．45°
D．60°
【答案】见解析。
【解析】（1）分别以A.B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可。 如图所示，直线EF即为所求；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可。
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C． ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°， ∴∠C＝∠A＝30°， ∵EF垂直平分线段AB， ∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
【例题3】(2019年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．（SAS） 【答案】B
【解析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得． 作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′； ④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角； 作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
B． （SSS）
C． （ASA）
D． （AAS）
∴∠A′O′B′=∠AOB， 显然运用的判定方法是SSS．
【例题4】（2019?山东青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：∠α，直线l及l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点． 如图，△ABC为所作．
专题典型训练题一、选择题
1.（2019?广西北部湾）如图, 在△ABC中，AC=BC, ∠A=400 ，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A． 400 B． 450 C．500 D．600 【答案】C
【解析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形内角
和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质． 由作法得CG⊥AB，
∵AB=AC，
∴CG平分∠ACB，∠A=∠B， -40°-40°=100°∵∠ACB=180°， ∴∠BCG=∠ACB=50°．
2.（2019·贵州贵阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 【答案】D．
【解析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算CE的长．
由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°， AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3， 在Rt△ACE中，CE＝
＝
．
B．3
C．
D．
3.（2019?河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
中考数学必考34个考点专题32：尺规作图
