分段线性插值的算法简单，计算量小，然而从整体上看，逼近函数不够光滑，在节点
处，逼近函数的左右导数不相等。
Hermite插值的逼近函数与被逼近函数不仅在插值节点上取相同的函数值，而且逼近函数与被逼近函数在插值节点上去相同的若干阶导数值。
Hermite插值法结合了函数的导数值，使得插值的精度更为提高。 Hermite插值具有少节点得到高次插值多项式的特点 Hermite插值插值多项式灵活多样
Hermite插值在节点一定的条件下，可以多种构造插值条件
3 重节点插商与Hermite插值
4 例题及解答
例题 1 （两点三次插值多项式） 已知f(x)在节点1,2处的函数值为f(1)?2,f(2)?3 ，
f(x)在节点1,2处的导数值为f'(1)?0,f'(2)??1
求f(x)的两点三次插值多项式，及f(x)在x?1.5,1.7处的函数值 解：
x0?1,x1?2y0?2,y1?3??0,y1???1y0?h0(x)?y1?h1(x) H3(x)?y0h0(x)?y1h1(x)?y0??x?x0??x?x1?x?x1??x?x0??y0?1?2?y1?2?????? 1?x?xx?xx?xx?x10??01?01??10????x?x1??x?x0???x?x0????y0?yx?x?? 1?1???x0?x1??x1?x0?H3(x)?2?1?2(x?1)??x?2??3?1?2(x?2)??x?1???x?2??x?1?
2222222 ??3x3?13x2?17x?9
11
f(1.5)?H3(1.5)?2.625 f(1.7)?H3(1.7)?2.931
作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象,因此，对有n+1
节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值
例2 （误差估计）已知f(x)?x及其一阶导数的数据见下表,用埃尔米特插值公式计算125的近似值,并估计其截断误差.
x?121??x?144?x?144??x?121????12?1?2解：H3(x)?11??1?2???????
144?121??121?144?121?144??144?121???1?x?121??x?144?1?x?144??x?121????????????? 22?144?121??121?144?24?121?144??144?121?22221212111222 2x?219x?144?265?2xx?121????????2332331122 ?x?121x?144?x?144x?121????????22?23224?232H3(x)? 得
125?H3(125)?11.18035
x121144 12 f(x) 11 f '(x) 1/22 1/24
由 可求得
12
f(4)(x)??1516x72
R3(125)??151224?19384?16?3?1519??0.0000123384121?112
5 参考文献
[1] 蒋尔雄、赵风光、苏仰峰, 数值逼近(第二版),，复旦大学出版社, 2008.
[2] 陈传璋、金福临、朱学炎、欧阳光中,，数学分析(上、下册), 高等教育出版社出版, 1983. [3] 徐树方、高立、张平方, 数值线性代数， 北京大学出版社, 2000.
[4] 萧树铁、姜启源、张立平、何青、高立,，大学数学数学实验, 高等教育出版社, 2006. [5] 张德丰,，Matlab数值分析与应用,，国防工业出版社, 2007. [6] 周品、何正风， Matlab数值分析,，机械工业出版社, 2009. [7] 韩丹夫、吴庆标，数值计算方法，浙江大学出版社，2006.6. [8] 欧阳洁，数值分析，高等教育出版社
6 附录
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7 致谢
四年的努力学习，三个月的精心准备，毕业论文终于到了划句号的时候，在此之际，我首先要向在论文协作中给予我悉心关怀、鼓励和指导的陈传军老师致以深深的敬意和谢意。在大学期间陈老师教授过我《数值逼近》和《微分方程数值解法》两门课程，共四个学期。无论是在授课指导我写论文过程中，陈老师教学态度认真，为人和蔼可亲，在设计思想方面，更有着独特的见解，给我的设计注入了许多专业的思想，激发了我的灵感。这些都使我受益匪浅，并终身难忘。十分庆幸在即将离开烟台大学之际，又能跟随陈老师学习。毕业设计和毕业论文写作的经历和收获，值得一生回味。
同时，我还要感谢烟台大学数学与信息科学学院的曾经给我授课的各位老师，这是他们的传道、授业、解惑，让我学到了专业知识，为这次毕业设计和毕业论文的完成打下了坚实的基础，并且我从他们身上学到了如何求知治学、如何为人处世。各位老师对我的教育和影响，将使我终身受益。
我还要感谢同学和朋友的关心和帮助，烟台大学对我多年的培养，这些都是我这次完成毕业设计和毕业论文的不可或缺的因素。
谨向我的父母和家人表示诚挚的谢意，使他们不变的支持、无微不至的关怀，促使了我的前进。没有他们就没有我，我的点滴成就来自于他们。
我知道，这篇论文还存在缺点和不足之处，但是它是一个起点，在此基础上，我会更加努力，在以后的研究生学习中，不断提高自己。由于涉及知识范围广且本人水平有限，本文不免有错漏和不妥之处，望大家批评指正，不吝赐教
最后，衷心感谢在百忙之中评阅论文的各位老师、专家、教授！
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烟台大学毕业论文 (设计)评审表（指导教师用）
题 目 学生姓名 指导教师 姓 名 xxx xxxxx Hermite插值的若干问题研究学号 职称 20xxxxxx16 副教授 专业 信息与计算科学 计算数学 所学专业 得分 是否同意参加答辩： 评语： 指导教师（签字）： 年 月 日
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Hermite插值的若干问题研究
