古典概型
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一、选择题
1．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
2321A.3 B.5 C.5 D.5
B [设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．
63
故恰有2只测量过该指标的概率为10＝5.故选B.]
2．(2019·长沙雅礼中学月考)“上医医国”出自《国语·晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是( )
1A.3 1C.4
1B.6 1D.12
A [幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n＝3，∴该幼童能将
1
这句话排列正确的概率P＝3.故选A.]
3．(2019·江淮十校模拟)《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为( )
1A.8 3C.8
1B.4 1D.2
C [抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故3
所求概率为8.故选C.]
4．将一个骰子连续掷3次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )
1A.12 1C.15
1B.9 1D.18
A [一个骰子连续掷3次，落地时向上的点数可能出现的组合数为63＝216种．落地时向上的点数依次成等差数列，当向上点数若不同，则为(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,5,6)，共有2×6＝12种情况；当向上点数相同，共12＋61有6种情况．故落地时向上的点数依次成等差数列的概率为216＝12.]
5．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )
1111A.6 B.3 C.4 D.2
A [由题意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．
因为m⊥n，即m·n＝0，
所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b， 满足条件的有(3,3)，(5,5)共2种， 1故所求的概率为6.] 二、填空题
6．(2019·益阳、湘潭调研试卷)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是 .
2
[函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，5
故只有a＝0，a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函2×22
数的概率是＝.]
5×25
7．(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．
7
[从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事10
件总数n＝10，
选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件个数：
m3
m＝3，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝1－n＝1－10＝710.]
8．(2019·武汉市调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是 ．
*??1≤a≤6，a∈N，19
[投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为?36*??1≤b≤6，b∈N，
所以a和b的组合有36种，若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，
所以b2≥4a.
当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.
19满足条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝36.] 三、解答题
9．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． [解](1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
5
所以，事件M发生的概率P(M)＝12.
10．(2019·成都七中模拟)某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．
(1)求图中m的值；
(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；
(3)在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．
[解](1)依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：
50×(m＋0.0040＋0.0050＋0.0066＋0.0016＋0.0008)＝1，解得m＝0.0020. (2)设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t. 因为前2组的频率之和为(0.0020＋0.0040)×50＝0.3<0.5， 前3组的频率之和为(0.0020＋0.0040＋0.0050)×50＝0.55>0.5， 所以350 由0.3＋0.0050×(t－350)＝0.5，得t＝390. 所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟． (3)由题意，可得在[450,500)内抽取6×b，c，d， 在[500,550]内抽取2人，记为e，f， 0.0016 ＝4人，分别记为a， 0.0016＋0.0008
2021版江苏高考数学一轮复习课后限时集训：62 古典概型
