dy?dx1?y2y?1x?x显然31?y2yy1?0,故分离变量得dy?dx23x?x1?y1两边积分得ln1?2y212?lnx?ln1?x?lnc(c?0),即(1?2(1?x)?cxy）222y)(1?x)?cx222
故原方程的解为（1? 6
5:(y?x)dy?(y?x)dx?0解：dydx?y?xy?x,令yx?u,y?ux,dydx?u?xdudx则u?xdudx?u?1u?11u?1,变量分离，得：?u2?1du?xdx两边积分得：arctgu?122ln(1?u)??lnx?c。6：xdydx?y?x2?y2解：令yx?u,y?ux,dydx?u?xdudx,则原方程化为：du2?x(1?u2),分离变量得：11dxx1?u2du?sgnx?xdx两边积分得：arcsinu?sgnx?lnx?c?代回原来变量，得arcsinyx?sgnx?lnx?c?另外，y2?x2也是方程的解。7：tgydx?ctgxdy?0解：变量分离，得：ctgydy?tgxdx两边积分得：lnsiny??lncosx?c.y2?3x8:dydx??ey解：变量分离，得yy2dy??13xe3e?c9:x(lnx?lny)dy?ydx?0解：方程可变为：?lnyx?dy?yxdx?0令u?y1lnux,则有：xdx??1?lnudlnu代回原变量得：cy?1?lnyx。10：dyx?ydx?e解：变量分离eydy?exdx两边积分ey?ex?c 7
4：(1?x)ydx?(1?y)xdy?0解：由y?0或x?0是方程的解，当xy?0时，变量分离1?x1?yxdx?ydy?0两边积分lnx?x?lny?y?c,即lnxy?x?y?c,
故原方程的解为lnxy?x?y?c;y?0;x?0. dydx?ex?y解：变量分离，eydy?exdx两边积分得：ey?ex?c11.dy2dx?(x?y)解：令x?y?t,则dydx?dtdx?1原方程可变为：dt1dx?t2?1变量分离得：1t2?1dt?dx,两边积分arctgt?x?c代回变量得：arctg(x?y)?x?c
12．dydx?1(x?y)2 解
令x?y?t，则dydx?dtdx?1，原方程可变为dtdx?1t2?1变量分离t2t2?1dt?dx，两边积分t?arctgt?x?c，代回变量
x?y?arctg(x?y)?x?c13.dy2x?y?1dx?x?2y?1解：方程组2x?y?1?0,x?2y?1?0;的解为x??113,y?3令x?X?11dY2X?Y3,y?Y?3,则有dX?X?2Y' YdU2令X?U，则方程可化为：X2?2U?2UdX?1?2U变量分离
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14,dyx?y?5dx?x?y?2解：令x?y?5?t,则dydx?1?dtdx,原方程化为：1?dtdx?tt?7,变量分离(t?7)dt?7dx
两边积分122t?7t??7x?c代回变量12(x?y?5)2?7(x?y?5)??7x?c.
dy?(x?1)2?(4y?1)215．dx?8xy?1
解：方程化为dydx?x2?2x?1?16y2?8y?1?8xy?1?(x?4y?1)2?2令1?x?4y?u，则关于x求导得1?4dydu1du9dx?dx，所以4dx?u2?4， 分离变量14u?9，两边积分得arctg(23?23x?82du?dx3y)?6x?c，是原方程的解。
16．dyy6?2x2dx?2xy5?x2y2 解：dy?(y3)2?2x2?dy33[(dx?y3)2?2x2]3dxy2(2xy3?x22xy3?x2，，令y?u，则原方程化为 3u2du3u2?2?6dx?6x2x2xu?x2? ，这是齐次方程，2ux?1ux?z，则dudx?z?xdz3z2?6dzdzz2?z?6dx，所以2z?1?z?xdx，，xdx?2z?1，...........(1)当z2?z?6?0，得z?3或z??2是（1）方程的解。即y3?3x或y3??2x是方程的解。当z2?z?6?0时，变量分离2z?1z2?z?ddz?1xdx，两边积分的（z?3)7(z?2)3?x5c,即（y3?3x)7(y3?2x)3?x5c，又因为y3?3x或y3??2x包含在通解中当c?0时。故原方程的解为(y3?3x)7(y3?2x)3?x15c 令
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17. dy2x3?3xy?xdx?3x2y?2y3?y 解：原方程化为dyx(2x2?3y2?1)dy22x2?3y2dx?y(3x2?2y2?1);;;;;dx??123x2?2y2?1 令y2?u,;;;;;x2?v;;;;;;;则dudv?2v?3u?13v?2u?1.......(1) ?2v?3u?1?0方程组?2u?1?0的解为（1，?3v??1）；令Z?v?1，，Y?u?1，
?则有???2z?3y?0，，，，从而方程（1）化为dy2?3y?z ??3z?2y?0dz?3?2yz令t?ydyz，，则有dz?zdtdz，，所以t?zdt2?3tdt2?2t2?tdz?3?2t，，zdz?3?2t，...........(2) 当
2?2t2?0时，，即t??1，是方程(2)的解。得y2?x2?2或y2??x2是原方程的解2?2t2?0时，，分离变量得3?2tdt?1dz两边积分的y2?x2?(y2?x2?2)52?2t2zc 另外
y2?x2?2，或y2??x2，包含在其通解中，故原方程的解为y2?x2?(y2?x2?2)5c
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当
常微分方程第三版答案 doc
