第4讲 随机事件与古典概型
[基础题组练]
1.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 C.0.6
B.0.4 D.0.7
解析:选B.设“只用现金支付”为事件A,“既用现金支付也用非现金支付”为事件B,“不用现金支付”为事件C,则P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0.45-0.15=0.4,故选B.
2.(2019·高考全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著,某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5 C.0.7
B.0.6 D.0.8
解析:选C.根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下:
70
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7.
1003.现有5人参加抽奖活动,每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张,直到3张中奖票都被抽出时活动结束,则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )
A.C.1
103 10
1B. 52D. 5
5
解析:选C.将5张奖票不放回地依次取出共有A5=120种不同的取法,若活动恰好在第四次抽奖结束,则前三次共抽到2张中奖票,第四次抽到最后一张中奖票,共有3A3A2A1=36363
种取法,所以P==.故选C.
12010
4.据《孙子算经》中记载,中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级.现有每个级别的诸侯各一人,共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子,级别
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每高一级就多分m个(m为正整数),若按这种方法分橘子,“公”恰好分得30个橘子的概率是( )
1
A. 81C. 6
1B. 71D. 5
解析:选B.由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成公差为m的等差5×4
数列,设“男”分得的橘子个数为a1,其前n项和为Sn,则S5=5a1+m=80,即a1+2m2=16,且a1,m均为正整数,若a1=2,则m=7,此时a5=30,若a1=4,m=6,此时a5=28,若a1=6,m=5,此时a5=26,若a1=8,m=4,此时a5=24,若a1=10,m=3,此时
a5=22,若a1=12,m=2,此时a5=20,若a1=14,m=1,此时a5=18,所以“公”恰好分
1
得30个橘子的概率为.故选B.
7
5.(2020·陕西榆林模拟)大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教,若每个村小学至少分配1名大学生,则小明恰好分配到甲村小学的概率为( )
A.1 12
1B. 21D. 6
1C. 3
解析:选C.依题意,小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人,另外2个学校各1人,共有C4A3=36(种)分配方法,若小明必分配到甲村小学,有C3A2+C3A2=12(种)分配方法,根据古典概型的概率计算公式得所求的概率121
为=,故选C. 363
6.(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.
解析:经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为10×0.97+20×0.98+10×0.99
=0.98.
10+20+10
答案:0.98
7.(2020·四川绵阳诊断改编)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三
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辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则P1=________,P2=________.
解析:三辆车的出车顺序可能为:123,132,213,231,312,321,共6种.方案一坐31
3号车可能为:132,213,231,共3种,所以P1==;方案二坐3号车可能为:312,321,
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共2种.所以P2==.
63
11答案:
23
8.已知|p|≤3,|q|≤3,当p,q∈Z,则方程x+2px-q+1=0有两个相异实数根的概率是________.
解析:由方程x+2px-q+1=0有两个相异实数根,可得Δ=(2p)-4(-q+1)>0,即p+q>1.
2
2
2
2
2
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当p,q∈Z时,设点M(p,q),如图,直线p=-3,-2,-1,0,1,2,3和直线q=-3,-2,-1,0,1,2,3的交点,即为点M,共有49个,其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点).当点M(p,q)落在圆p+q=1外时,方程x+2px-q+1=0有两个相异49-54422
实数根,所以方程x+2px-q+1=0有两个相异实数根的概率P==.
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44
答案: 49
9.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元) 车辆数(辆) 0 500 1 000 130 2 000 100 3 000 150 4 000 120 2
2
2
2
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.
解:(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得