（1）若答对一题得10分，未答对不得分，估计这40人的成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若从答对题数在?2,6?内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在?2,4?内的概率.
【答案】（1）79；（2）
3 5【解析】（1）首先根据频率分布直方图计算出答对题数的平均数，由此求得成绩的平均分的估计值.
（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】
（1）因为答对题数的平均数约为
?1?0.025?3?0.025?5?0.0375?7?0.125?9?0.1875?11?0.1??2?7.9.
所以这40人的成绩的平均分约为7.9?10?79.
（2）答对题数在?2,4?内的学生有0.025?2?40?2人，记为A，B； 答对题数在?4,6?内的学生有0.0375?2?40?3人，记为c，d，e.
从答对题数在?2,6?内的学生中随机抽取2人的情况有?A,B?，?A,c?，?A,d?，?A,e?，
?B,c?，?B,d?，?B,e?，?c,d?，?c,e?，?d,e?，共10种，
恰有1人答对题数在?2,4?内的情况有?A,c?，?A,d?，?A,e?，?B,c?，?B,d?，?B,e?，共6种， 故所求概率P?【点睛】
本小题主要考查利用频率分布直方图估计平均数，考查计算古典概型概率问题，属于基础题.
63?. 105a，c分别为?ABC内角A，18．C的对边.已知a?3，csinC?sinA?bsinB，B，b，
且B?60?.
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（1）求?ABC的面积；
（2）若D，E是BC边上的三等分点，求sin?DAE. 【答案】（1）3（2）3；13 13【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得c，根据三角形面积公式求得三角形ABC的面积.
（2）首先利用余弦定理求得AD，求得b，判断出AC?AD，由此证得AE?CD，解直角三角形求得sin?DAE. 【详解】
（1）∵csinC?sinA?bsinB，∴由正弦定理得c2?a2?b2. ∵a?3，∴b2?c2?3.
又B?60?，∴b?c?9?2?3?c?∴c?4，
∴?ABC的面积S?221?c2?3， 21acsinB?33. 2（2）设D靠近点B，则BD?DE?EC?1.
在?ABD中，由余弦定理，得AD?12?42?2?1?4?cos60??13. 又b?c2?3?13，∴AC?AD. ∵DE?EC，∴AE?CD， 故sin?DAE?【点睛】
本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 19．如图，在四棱锥P?ABCD中，AP?平面PCD，AD//BC，AB?BC，
DE13. ?AD13AP?AB?BC?1AD，E为AD的中点，AC与BE相交于点O. 2
（1）证明：PO?平面ABCD.
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（2）若OB?1，求点C到平面PAB的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）23 3【解析】（1）首项通过证明AP?CD,CD//BE，证得AP?BE，然后通过证明四边形ABCE是正方形证得BE?AC，由此证得BE?平面APC，所以BE?PO.通过证明?PAC为等腰直角三角形证得PO?AC，由此证得PO?平面ABCD. （2）利用等体积法，由VC?PAB?VP?ABC列方程，解方程求得点C到平面PAB的距离. 【详解】
（1）证明：∵AP?平面PCD，∴AP?CD. ∵AD//BC，BC?∴BE//CD， ∴AP?BE.
又∵AB?BC，AB?BC?1AD，∴四边形BCDE为平行四边形， 21AD，且E为AD的中点， 2∴四边形ABCE为正方形，∴BE?AC.
又AP?AC?A，∴BE?平面APC，则BE?PO. ∵AP?平面PCD，∴AP?PC，又AC?2AB?2AP，
∴?PAC为等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点， ∴PO?AC且ACIBE?O，∴PO?平面ABCD. （2）解：∵OB?1，∴PA?PB?AB?2. 设C到平面PAB的距离为d， 由VC?PAB?VP?ABC， 得?133?4??112?d???322?2??1，
2解得d?23. 3第 13 页 共 18 页
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的证明，考查点面距的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20．已知函数f?x??x?ax?324. 27（1）若f?x?在?a?1,a?3?上存在极大值，求a的取值范围；
（2）若x轴是曲线y?f?x?的一条切线，证明：当x??1时，f?x??x?【答案】（1）??9,0?U?0,1?；（2）证明见解析 【解析】（1）求得f?x?的导函数f'23. 27?x?，对a分成a?0,a?0,a?0三种情况，结合
f?x?在?a?1,a?3?上存在极大值，求得a的取值范围.
（2）首先根据x轴是曲线y?f?x?的一条切线求得a的值，构造函数
23??g?x??f?x???x??，利用导数求得g?x?在区间??1,???上的最小值为0，由此
27??证得g?x??0，从而证得不等式成立. 【详解】
2（1）解：f'?x??3x?2ax?x?3x?2a?，令f'?x??0，得x1?0，x2?2a. 3当a?0时，f'?x??0，f?x?单调递增，f?x?无极值，不合题意； 当a?0时，f?x?在x?2a处取得极小值，在x?0处取得极大值， 32a处取得极大值，在x?0处取得极小值， 3则a?1?0?a?3，又a?0，所以0?a?1； 当a?0时，f?x?在x?则a?1?2a?a?3，又a?0，所以?9?a?0. 3综上，a的取值范围为??9,0?U?0,1?.
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（2）证明：由题意得f?0??0，或f?4?2a??0（不成立），或??0，即27?3??434a??0， 2727解得a?1.
23??32gx?fx?x????设函数????x?x?x?1，g'?x???3x?1??x?1?，
27??当?1?x??11或x?1时，g'?x??0；当??x?1时，g'?x??0. 33所以g?x?在x?1处取得极小值，且极小值为g?1??0. 又g??1??0，所以当x??1时，g?x??0， 故当x??1时，f?x??x?【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
?3?x2y221．已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?过点?1,?，过坐标原点O作两条互相垂直
?2?ab23. 27的射线与椭圆C分别交于M，N两点.
（1）证明：当a2?9b2取得最小值时，椭圆C的离心率为
2. 2（2）若椭圆C的焦距为2，是否存在定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，x?y?2212 719?3?【解析】（1）将点?1,?代入椭圆方程得到2?2?1，结合基本不等式，求得a2?9b2?2?a4b取得最小值时a2?2b2，进而证得椭圆的离心率为
2. 2（2）当直线MN的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得O到直线MN的距离.当直线MN的斜率存在时，联立直线MN的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用则x1x2?y1y2?0列方程，求得m,k的关系式，进而求得O到直线MN的OM?ON，
距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程. 【详解】
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2020届河南省高三上学年期末数学（文）试题（解析版）
