概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
不等式及不等式选讲（4-5）
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式变向相加：若a?b,c?d，则a?c?b?d（若a?b,c?d，则a?(?c)?b?(?d)），但异向不等式不可以直接相加；同向不等式不可以相减；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式取倒相乘，但不能
11相除：若a?b?0,c?d?0，则ac?bd（若a?b?0,0?c?d，则a??b?）；
cd3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a?b?0，则an?bn或na?nb；
11114．若ab?0，a?b，则?；若ab?0，a?b，则?。如
abab（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：
①若a?b,则ac2?bc2； ②若ac2?bc2,则a?b；
11 ③若a?b?0,则a2?ab?b2； ④若a?b?0,则?；
abba ⑤若a?b?0,则?； ⑥若a?b?0,则a?b；
abab11 ⑦若c?a?b?0,则； ⑧若a?b,?，则a?0,b?0。 ?c?ac?bab其中正确的命题是______
（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，则3x?y的取值范围是______
（答：1?3x?y?7）；
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；
5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如
1t?1（1）设a?0且a?1,t?0，比较logat和loga的大小
221t?11t?1（答：当a?1时，logat?loga（t?1时取等号）；当0?a?1时，logat?loga（t?12222时取等号））；
21（2）设a?2，p?a?，q?2?a?4a?2，试比较p,q的大小
a?2（答：p?q）；
（3）比较1+logx3与2logx2(x?0且x?1)的大小
444（答：当0?x?1或x?时，1+logx3＞2logx2；当1?x?时，1+logx3＜2logx2；当x?333时，1+logx3＝2logx2）
三．利用基本不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最
小”这17字方针。如 （1）下列命题中正确的是
1 A、y?x?的最小值是2
xx2?3 B、y?的最小值是2
2x?24 C、y?2?3x?(x?0)的最大值是2?43
x4 D、y?2?3x?(x?0)的最小值是2?43 x（答：C）；
（2）若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______
（答：22）；
（3）正数x,y满足x?2y?1，则
11?的最小值为______ xy（答：3?22）；
22a?b?a?b?ab?2(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；四.常用不等式有：（1）
221?1ab（2）a、b、c?R，a2?b2?c2?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号本质就是排序不等式
bb?m你看出来了吗？）；（3）若a?b?0,m?0，则?（糖水的浓度问题）。
aa?m如 如果正数a、b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是_________
（答：?9,???）
五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过
分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
1111111??2???（裂项法） 常用的放缩技巧有：?nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n111k?1?k????k?k?1（有理化）
k?1?k2kk?1?k如（1）已知a?b?c，求证：a2b?b2c?c2a?ab2?bc2?ca2 ； (2) 已知a,b,c?R，求证：a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)；
xy11?（3）已知a,b,x,y?R?，且?,x?y，求证：； x?ay?baba?bb?cc?a?lg?lg?lga?lgb?lgc； (4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg222（5）已知a,b,c?R，求证：a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)；
(6)若n?N*，求证：(n?1)2?1?(n?1)?n2?1?n；
|a|?|b||a|?|b|?(7)已知|a|?|b|，求证：；
|a?b||a?b|111??L??2。 22223n六．简单的一元高次不等式的解法：根轴法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使
每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如
（1）解不等式(x?1)(x?2)2?0。
（答：{x|x?1或x??2}）；
（8）求证：1?（2）不等式(x?2)x2?2x?3?0的解集是____
（答：{x|x?3或x??1}）；
（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)?0的解集为{x|1?x?2}，g(x)?0的解集为?，则不等式f(x)gg(x)?0的解集为______
（答：(??,1)U[2,??)）；
（4）要使满足关于x的不等式2x2?9x?a?0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一个，则实数a的取值范围是______.
81（答：[7,)）
8七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母
分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用根轴法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母（或者说在已知条件给出的范围内分母符号可判断，也可去分母）。如 5?x（1）解不等式2??1
x?2x?3（答：(?1,1)U(2,3)）；
ax?b（2）关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，则关于x的不等式?0的解集为
x?2____________
（答：(??,?1)?(2,??)）.
八．绝对值不等式的解法：
311．零点分段法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2?x|?2?|x?|
42（答：x?R）；
2．利用绝对值的定义；
3．数形结合；如解不等式|x|?|x?1|?3
（答：(??,?1)U(2,??)）
4．两边平方：如
若不等式|3x?2|?|2x?a|对x?R恒成立，则实数a的取值范围为______。
4（答：{}）
3九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集即讨论变量一致时先交后并，否则不予交并. 如
2?1，则a的取值范围是__________ 32（答：a?1或0?a?）；
3ax2?x(a?R) （2）解不等式
ax?111（答：a?0时，{x|x?0}；a?0时，{x|x?或x?0}；a?0时，{x|?x?0}或x?0}）
aa提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式ax?b?0 的
x?2解集为(??,1)，则不等式（－1,2）） ?0的解集为__________（答：
ax?b十．含绝对值不等式的性质：
a、b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； a、b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.
如设f(x)?x2?x?13，实数a满足|x?a|?1，求证：|f(x)?f(a)|?2(|a|?1)
十一．不等式的（恒成立、能成立、恰成立）等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常
应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题
若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A
（1）若loga若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B
如（1）设实数x,y满足x2?(y?1)2?1，当x?y?c?0时，c的取值范围是______
（答：?； ?2?1,??）
（2）不等式x?4?x?3?a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____
（答：a?1）；
（3）若不等式2x?1?m(x2?1)对满足m?2的所有m都成立，则x的取值范围_____
（答：（
n?7?13?1,））； 22(?1)n?1（4）若不等式(?1)a?2?对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____
n3（答：[?2,)）；
2（5）若不等式x2?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围.
1（答：m??）
22). 能成立问题
若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上f?x?max?A；
若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的f?x?min?B.如 已知不等式x?4?x?3?a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____
（答：a?1）
3). 恰成立问题
若不等式f?x??A在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??A的解集为D； 若不等式f?x??B在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??B的解集为D. 十二．二维柯西不等式
1.定理1 （代数形式）：若a、b、c、d∈R，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2
（当且仅当ad＝bc时，等号成立）
9如 已知2x＋4y＝3，则x2＋y2的最小值是________． （答：）2011933【析】x2＋y2＝(x2＋y2)(4＋16)×≥(x·2＋y·4)2＝.当且仅当4x＝2y，即y＝2x，即x＝，y＝时等号成立， 202020105
2.定理2 （向量形式）：设α、β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|
（当且仅当β是零向量或存在实数k，使α＝kβ时即共线，等号成立）
22222
3.定理3 （三角形式）：设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y1＋x2＋y2≥?x1－x2?＋?y1－y2?
（当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1，P2在O两侧时，等号成立）
9
例 已知2x＋4y＝3，则x2＋y2的最小值是________． （答：）
20
十三．排序不等式
1．顺序和、乱序和、反序和的概念
设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi (i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋anbn为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋ancn为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1称为反序和．
2．排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则
a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b2＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．
b2c2＋c2a2＋a2b2
如 已知a、b、c是正数，求证：≥abc.
a＋b＋c
（提示：不妨先证b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc2＋ab2c＋a2bc）
十四．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当n＝n0时命题成立；（n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数，不是一定从1开始．） (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明_n＝k＋1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，则断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
如 用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N*)．
(完整版)不等式及不等式选讲【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】
