西安中学2019-2020学年度第一学期期中考试
高一数学试题
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分．) 1．函数y＝2－x的定义域是( ) lg xA．{x|0 ?1?－0.81.2 2．已知a＝2，b＝??，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为( ) ?2? A．c B．c D．b 3．下列四个图像中，是函数图像的是( ) A．（1） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（3）（4） 4．已知f(x)＝ax＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( ) 1111 A．－ B． C． D．－ 33225．已知幂函数f(x)＝(n＋2n－2)x2 2 n2?3n(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数， 则n的值为( ) A．1 B．2 C．1或2 D．1或－3 6．若函数f(x)?x2?4x?1在定义域A上的值域为??3,1?,则区间A不可能为( ) A．?0,4? B．?2,4? C．?1,4? D．??3,5? 7．根据有关资料显示，围棋状态空间复杂度的上限M约为3，而可观测宇宙中普通物质的原子总M82 数N约为10，则下列各数中与最接近的是( ) N(参考数据：lg 3≈0.48) A．10 B．10 33 53 361 C．10 91 D．10 93 8．已知实数a，b满足等式2019＝2020，下列五个关系式：①0 ab⑤a＝b．其中不可能成立的关系式有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知函数f(x)??A．5 ?log2x，x?01，则f(f(1))?f(log)的值是 ( ) 3?x2?3?1，x?07 C．－1 D. 2 B．3 10．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，logxm?24，logym?40，logxyzm?12，则logzm的值为( ) 1200A． B．60 C． 603 3 D． 20 11．如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0 DE ?212．已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)，则 f(1)?f(2?)fA．?99 (?…3)?f (9?9 ) ( B．2 C．0 D．99 二、填空题 (本题共4小题，每小题4分，共16分．) 13．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于 ． ?ax，x?1f?x1?－f?x2??14．已知f(x)??满足对任意x≠x，都有>0成立，那么a的取值范12ax1－x2 ?(4?)x?2，x?1?2围是 ． 15．已知集合A?{x|ax?3x?2?0}至多有一个元素，则a的可能值构成的集合为 ． 16．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k| n∈Z}， 2k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论： ①2 014∈[4]； ②－3∈[3]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”． 其中，正确的结论是 ． 三、简答题(本题共6小题，共56分．) 17．（本小题满分8分）化简计算 8?210 (1)(?)3?2log410?log225?(?)；2 27 a2?a?2?1 (2) 已知a?0，a?a?1，求的值． 4?4a?a?118．（本小题满分8分）已知集合A?x0?ax?1?5,B??x?(1) 若a?1,求A?B； (2) 若A?B??,求实数a的取值集合． ????1??x?2? 2?19．（本小题满分10分）已知函数f(x)?b?a (其中a，b为常量，且a?0，a?1)的图像经过点A(1，6)，B(3，24)． (1)求f(x)的表达式； (2)若不等式()x?()x?m?0在??，1??上恒成立，求实数m的取值范围． 20．（本小题满分10分）十一黄金小长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用（人工费，消耗费用等等）。受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)。 (1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； (3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 21．（本小题满分10分）函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围. 22．（本小题满分10分）已知函数f(x)?ax?bx?c(a?0，b?R，c?R)． 2x1a1b?(1)若函数f(x)的最小值是f(?1)?0，且c＝1，F(x)??的值； ?f(x)，x?0，求F(2)＋F(－2) ?f(x)，x?0?(2)若a＝1，c＝0，且?1?f(x)?1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围. 西安中学2019—2020学年度第一学期期中考试 高一数学试题答案 一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 B 9 A 10 B 11 A 12 C 二、填空题 13．0或3 14．[4,8) 15．?aa?0或a?三、解答题 17．解：(1) ??9?? 16．①③④ 8?2517 (2)． ； 15418．解：（1）若a?1则A?x1?x?6,所以A?B??x?（2）①当A??时a?0满足条件； ②当A??时, a?0此时A??x????1??x?6? 2??1?x?a?6?11由于,则,即； A?B???20?a??a?a26111?x?}由于A?B??,则??，即?2?a?0． aaa21综上所述,实数a的取值集合为{a|?2?a?}． 2③当A??时, a?0此时A?{x| 19．解：(1)因为f(x)的图像过A(1,6)，B(3,24)， ??b·a＝6，所以?3 ?b·a＝24.? 所以a＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f(x)＝3·2． 2x?1?x＋?1?x－m≥0恒成立，?1?x?1?x(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，即m≤??＋??在(－?2??3? ?????2??3? ∞，1]上恒成立． ?1?x?1?x?1?x?1?x又因为y＝??与y＝??在(－∞，1]上均为减函数，所以y＝??＋??在(－∞，1]上也是减函数， ?2??3??2??3? 5?55?1?x?1?x?所以当x＝1时，y＝??＋??有最小值，所以m≤，即m的取值范围是?－∞，?． 6?66?2??3?? 20．解：(1) y=50? (2) W=(50? (3) W= ? 1x (0?x?160，且x是10的整数倍)； 1011x)(180?x?20)= ?x2?34x?8000； 10101212x?34x?8000= ?(x?170)?10890，当x<170时，W随x增大而增大，但0?x?160， 1010 ∴当x=160时，W最大=10880，当x=160时，y=50? 1x=34； 10答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880元。 21．解 (1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)证明：定义域D＝{x|x≠0}关于原点对称，令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 1 ∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)， 2∴f(x)为偶函数. (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数， ∴f(x－1)<2?f(|x－1|) 22．解 (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1， 2a解得a＝1，b＝2， ∴f(x)＝(x＋1). 2 b?(x?1)2，x?0∴F(x)?? 2??(x?1)，x?0∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)＋[－(－2＋1)]＝8. (2)f(x)＝x＋bx，原命题等价于－1≤x＋bx≤1在(0,1]上恒成立， 11 即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立. 2 2 2 2 xx11 又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2. xx∴－2≤b≤0. 故b的取值范围是[－2,0].
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