12
4．已知f()＝x＋5x，则f(x)＝________.
x答案
5x＋1
(x≠0) 2
x1
解析 令＝t(t≠0)，
x115t＋1
则f(t)＝2＋5＝2，
ttt5x＋1
∴f(x)＝2(x≠0)．
x5．已知函数f(x)＝2x＋1，若f(a)＝5，则实数a的值为________． 答案 12
解析 f(a)＝2a＋1，由题意知2a＋1＝5， 所以a＝12.
高考题型分类精讲
题型一 函数的概念 例1 有以下判断：
?x≥0?1 |x|
?①f(x)＝与g(x)＝
x?－1 x<0?
表示同一函数；
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个； ③f(x)＝x－2x＋1与g(t)＝t－2t＋1是同一函数；
2
2
??1??④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f?f???＝0.
??2??
其中正确判断的序号是________． 答案 ②③
解析 对于①，由于函数f(x)＝
??1x≥0，?
?－1x<0?
|x|
x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝
的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义
域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)1??1??1?1?????－1表示同一函数；对于④，由于f??＝??－??＝0，所以f?f?2??＝f(0)＝1.
?2??2??2?????综上可知，正确的判断是②③.
思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．
(1)下列所给图象是函数图象的个数为
( )
A．1 C．3
B．2 D．4
(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
x2－1
A．y＝x－1和y＝
x＋1
B．y＝x和y＝1
C．f(x)＝x和g(x)＝(x＋1) D．f(x)＝
2
2
0
xx2
和g(x)＝
xx2
答案 (1)B (2)D
解析 (1)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.
(2)A中两个函数的定义域不同；B中y＝x的x不能取0；C中两函数的对应关系不同．故选D.
题型二 函数的定义域问题 命题点1 求函数的定义域 例2 (1)函数f(x)＝1－2＋A．(－3,0]
C．(－∞，－3)∪(－3,0]
x0
1
x＋3
的定义域为( )
B．(－3,1]
D．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝答案 (1)A (2)[0,1)
f2x的定义域是________． x－1
??1－2≥0，
解析 (1)由题意得?
?x＋3＞0，?
x
解得－3＜x≤0.
所以函数f(x)的定义域为(－3,0]． (2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1， 又x－1≠0，即x≠1，
所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0,1)． 引申探究
本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝f2x的定义域为________________． x－1
13
答案 [，1)∪(1，]
22
解析 由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]， 得函数y＝f(x)的定义域为[1,3]，
?1≤2x≤3，?
令???x－1≠0，
13
得≤x≤且x≠1， 22
13
∴g(x)的定义域为[，1)∪(1，]．
22命题点2 已知函数的定义域求参数范围 例3 (1)若函数f(x)＝2x(2)若函数y＝2
2?2ax?a?1的定义域为R，则a的取值范围为________．
ax＋1
的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
ax＋2ax＋3
答案 (1)[－1,0] (2)[0,3)
解析 (1)因为函数f(x)的定义域为R， 所以2即2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，
0
2
x2＋2ax－a≥2，x＋2ax－a≥0恒成立，
2
因此有Δ＝(2a)＋4a≤0，解得－1≤a≤0. (2)因为函数y＝
2
ax＋1
的定义域为R，
ax2＋2ax＋3
所以ax＋2ax＋3＝0无实数解，
即函数y＝ax＋2ax＋3的图象与x轴无交点． 当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点； 当a≠0时，则Δ＝(2a)－4·3a<0，解得0 思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集 2 2 时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍． (2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a (3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． (1)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则 函数f(2x＋1)的定义域为( ) A．(－1,1) C．(－1,0) (2)若函数y＝3 A．(0，] 43 C．[0，] 4答案 (1)B (2)D 解析 (1)∵函数f(x)的定义域为(－1,0)， 1 ∴－1<2x＋1<0，解得－1 2 (2)要使函数的定义域为R，则mx＋4mx＋3≠0恒成立． ①当m＝0时，得到不等式3≠0，恒成立； ②当m≠0时，要使不等式恒成立， ??m>0，需? ?Δ＝4m? 2 1 B．(－1，－) 21 D．(，1) 2 mx－1 的定义域为R，则实数m的取值范围是( ) mx2＋4mx＋3 3 B．(0，) 43 D．[0，) 4 2 －4×m×3<0，
湖南省长沙市长郡中学2021届高考数学(理)一轮复习：2.1 函数及其表示
