东北师范大学2020年硕士研究生招生考试试题（学科数学）参考答案
一、计算题（本题56分，每题8分）
tanx?sinx 3x?0x1sinx1?cosx解 ?lim ?x?0cosxxx2sinx1 ?lim?
x?02x2（1）求极限lim（2）求极限lim(1?x2)cosx
x?03解：lim(1?x)x?022cos3x?ex?0limx2cos3x?e0?1
(100)（3）设y?xsinx，求高阶导数y解 令u?x2，v?sinx，
则u??2x，u???2，u(n)?0，n?3，v(n)?sin(x?n?)，所以 2y(100)n1??C100u(n)v(100?n)?x2sin(x?50?)?C1002xsin(x?n?010099?2)?C1002sin(x?49?) 2 ?x2sinx?200xcosx?9900sinx （4）求极限lim?x?0x1?e2x 解：lim?x?0x1?e2x1?1x212 ?lim?1x?0??2x2e2x（5）求不定积分
?xdxx?12,x?1
解：
?xdx21?x?2???1d()1x?arccos?C x11?()2x1) 2n（6）求极限lim(n??11??n?1n?211??解 lim(n??n?1n?2n11111)?lim??dx?ln2 2nn??k?1n1?k?01?xn
（7）求u?xyln(x?y)的偏导数
22?u2x2x2y2222?yln(x?y)?xy2?yln(x?y)?2解： 22?xx?yx?y?u2y2xy22222?xln(x?y)?xy2?yln(x?y)?2 ?yx?y2x?y2三、论述题（本题20分）
讨论f(x,y)?x?y?3xy的极值点
33f(x,y)?x3?y3?3xy的偏导数为
''''''fx'(x,y)?3x2?3y，fy'(x,y)?3y2?3x，fxx(x,y)?6x，fyy(x,y)?6y，fxy(x,y)??3 2??x?0?x?1?3x?3y?0解方程?，得?或?，得到函数f(x,y)的稳定点(0,0)和(1,1)
2??y?0?y?1?3y?3x?0''在稳定点(0,0)处，??fxxfyy?fxy= -9<0，fxx(x,y)?0，所以点(0,0)不是极值点。 ''在稳定点(1,1)处，??fxxfyy?fxy=6?6 -9=27>0，fxx(x,y)?6?0，所以点(1,1)是极
22小值点。
四、证明题（本题20分） 求证黎曼函数?(x)?1在(1,??)中连续可导 ?xnn?1?记un(x)?21?x?x???u(x)??nlnn，所以，， u(x)??nlnn??nnxnk[un(x)](k)?(?1)kn?x?lnn?,k?1,2,3都在在(1,??)中连续。对任何x0?1，存在
??x0，当x??时，有
?1111(k)k?un(x)??，un(x)??lnn，[un(x)]??(lnn)，而??(lnn)k收敛，所以
nnnn?1n????un(x),?un?(x),?un(x),k?1,2,3(k)n?1n?1n?1都在[?,??)上一致收敛，故?(x)??1在?xnn?1?[?,??)内是连续的，且有任意阶连续导函数，由x0的任意性得?(x)??是连续的，并有任意阶连续导函数。
1在(1,??)中xn?1n
五、证明题（本题20分）
设f(x)在(a,??)内可微，f?(x)可积，且当x???时，f(x)单调递减趋于0，又积分
???af(x)dx收敛。试证???axf?(x)dx收敛
2xx证明：由于
???af(x)dx收敛，由Cauchy准则，当x?A时，???0，?A?a，?f(t)dt??2，
因x???时，f(x)单调递减趋于0，故f(x)?0，且在[因此当x?2A时，0?xf(x)?2f(x)于是limxf(x)?0
x??x,x]上f(t)的最小值为f(x) 2?xdt?2?xf(t)dt?2?22xx?2??
由
???axf?(x)dx?limAf(A)?af(a)??x????af(x)dx知???axf?(x)dx收敛。
六、计算题（本题14分） 请计算重积分I???D3x22y?xy?3xdxdy，其中为平面曲线，，，xy?1xy?3D23y?xy所围成的有界闭区域。
解：令xy?u,y?vx，则1?u?3，1?v?3；J?2?(x,y)1?，于是
?(u,v)3vI???D3313x311122dxdy?dudv?dudv?(ln4?ln2)(1?)?ln2 ???1?11?uv2y2?xy3v1?u3v33D?
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