随机变量的分布列
一、【考点系统归纳】
1.离散型随机变量——如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的概率分布（离散型随机变量的分布列）
X x2 xn x1 xi P p1 p2 pi pn ????离散型随机变量的分布列的性质：
2，3，?，n；（1）pi?0,i?1，
（2）p1?p2??pn?1. 3.离散型随机变量的期望与方差：
(1)期望:
E??x1p1?x2p2?…?xnpn?… 为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ
的概率分布中，令p1?p2?…?pn，则有
p1?p2?…?pn?11，E??(x1?x2?…?xn)?，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 nn(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…，那么,D?＝(x1?E?)?p1＋(x2?E?)?p2＋…＋(xn?E?)2?pn＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E?是随机变量ξ的期望． 4.几种分布列：
（1）二点分布： X 1 p P
22 0 q 其中0?p?1,q?1?p，则称离散型随机变量的X服从参数为p的二点分布.
举例：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得一分，不中得0分.已知某篮球运动员罚球命中得概率为0.8，则他罚球一次的得分的分布列为随机变量X服从参数p的二项分布. 二点分布的期望与方差：期望E(X)?p,方差D(X)?pq(q?1?p).
(2).超几何分布：
设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物CMmCN－Mn
品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率P(X＝m)＝
CNn－m
(0≤m≤l，l为n和M中较小
的一个)，称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N、M、n的超几何分布．超
几何分布给出了求解这类问题的方法，可以当公式直接运用求解．
超几何分布的期望：E(X)?n?（3）.二项分布： 如下：
MN
?X 0 1 p… k p… n nn00nCnpqCnpq11n?Cnpqp n0kkn?CnpqpP n… 0… 11n?1kkn?k由于Cnpq恰好是二项展开式(q?p)?Cnpq?Cnpq的各项的值，所以称这样的随机变量?服从二项分布，记作?kkn?k记Cnpq＝b?k;n,p?．…
knn0???Cnpkqn?k???Cnpq中B?n,p?，其中n，p为参数，并
二项分布的期望与方差：若?
5.正态分布：
B?n,p?，则E??np ，D??np?1?p?
（1）正态变量概率密度曲线的函数表达式：
(2)正态曲线的性质：
曲线在x轴的上方，并且关于 对称；
曲线在 处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐 ,呈现“中间 ，两边 ”的形状；
曲线的形状由参数?确定，?越大，曲线越“ ”，?越小，曲线越“ ”. 二、【典型例题精讲】
求离散型随机变量的分布列的步骤：
（1）要确定随机变量?的可能取值有哪些.明确每个值所表示的意义.
（2）分清概率类型，计算取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽
样还是不放回抽样）.
（3）列表，给出分布列，并用分布列的性质验证.
【例1】 （2010年高考上海市理科6）随机变量的概率分布率由下图给出：
则随机变量的均值是
【例2】.(2010年全国高考宁夏卷6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为 （A）100 （B）200 （C）300 （D）400
【例3】（上海理9）马老师从课本上抄录一个随机变量?的概率分布律如下表 请小牛同学计算?的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E?? . 12x3
!??P(ε=x)
【例4】（浙江理15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕
2业生得到甲公司面试的概率为3，得到乙丙公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。
P(X?0)?记X为该毕业生得到面试得公司个数。若
【例5】（湖北理5）已知随机变量?服从正态分布
112，则随机变量X的数学期望E(X)?
N?2，a2?，且Ｐ（?＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜?＜2）
＝ Ａ．0．6 B．0．4 C．0．3 D．0．2
【例6】（天津理16）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中，
（i）摸出3个白球的概率； （ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X).
【例7】 某公司通过三次测试来聘用职员，一旦某次测试就聘用，否则就已知测试到第三次为止.设每位
高中数学 4离散型随机变量的分布列(带答案)
