第五章 弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理
平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t不大于板中面最小尺寸的1/5时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G.R.Kirchhoff除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力?z与应力?x,?y和?xy相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。
用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。
本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。
§5.1 基本方程与边界条件回顾
取坐标平面oxy与中面重合，z轴垂直于中面，x,y和z轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿x,y和z轴方向的位移分别用u,v和w表示。由Kirchhoff假设，可以得到
u(x,y,z)??z?w?w，v(x,y,z)??z，w(x,y,z)?w(x,y) （5-1）
?y?x并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为
?2w?2w?2w?x??z2，?y??z2，?xy??2z （5-2）
?x?y?x?y其余3个应变分量?z,?xz和?yz根据假设都等于零，即
?z?0，?xz?0，?yz?0 （5-3）
由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷q(x,y)与剪力Qx,Qy以及弯矩
Mx,My和扭矩Mxy（Mx,My,Mxy统称为内力矩）与Qx,Qy之间的关系式。这里要注
意，Mx,My,Mxy是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，Qx,Qy是单位中
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面宽度内的内力，它们的因次是千克力/米。弯矩、扭矩和剪力的正方向如图5-1所示。
图5-1 弯矩、扭矩和剪力的正方向
平衡方程为
??Mx?Mxy??Qx??x?y??Mxy?My???Qy? （5-4） ?x?y??Q?Qx?y???q(x,y)??x?y?在薄板弯曲理论中，剪力Qx,Qy不产生应变，因而也不作功，因此可以从（5-4）式中消去Qx,Qy，得到
Mxy?2My?2Mx?2?2?q(x,y)?0 （5-5） 2?x?y?x?y以后凡提到薄板弯曲平衡方程，都是指（5-5）式而言。而内力Qx,Qy不再作为独立的量看待。上面两组方程仅仅是力的平衡方程，它们未涉及到板的材料性质。
与内力矩相对应的广义应变是挠度面的曲率kx,ky,kxy，在小挠度弯曲理论中，它们与挠度w的关系为
?2w?2w?2wkx??2，ky??2，kxy?? （5-6）
?x?y?x?y~~内力矩与曲率的关系可以通过应变能密度U表示出来，若将U表示为kx,ky,kxy的函
数，则有
~~~?U1?U?U，My?，Mxy? （5-7） Mx??ky2?kxy?kx~这种关系式对于线性或非线性材料都成立。对于线性的弹性体，U是kx,ky,kxy的正定的
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二次齐次函数。在各向同性的情况下，U的算式为
~~12U?D[(kx?ky)2?2(1??)(kxky?kxy)] （5-8）
2将（5-8）式代入（5-7）式，然后再将（5-6）式代入，得到内力矩与挠度的关系式为
?2w?2w?Mx??D(2??2)??x?y??2w?2w?My??D(2??2)? （5-9）
?y?x??2w?Mxy??(1??)D?x?y??Et3以上各式中D?称为板的弯曲刚度，其中t为板的厚度，?为材料的泊松系数。 212(1??)如果我们定义{?}为广义应变，?M?为广义应力，即
2?kx????w?????x2???2??????w?{?}??ky????2?????y2??w?????2???2kxy?????x?y??Mx???????{M}??My? （5-10）
??????Mxy??则有
{M}?[D]{?} （5-11）
式中的[D]为弯曲刚度矩阵。（5-8）式可以写为
~1U?{?}T[D]{?} （5-12）
2~*余应变能密度U看作是内力矩Mx,My,Mxy的函数，其值定义为
~~U*?Mxkx?Myky?2Mxykxy?U （5-13）
并且有
~~~?U*?U*?U*，ky?，2kxy? （5-14） kx??M?M?Mxyxy~*同样，对于线性的弹性体，U是Mx,My,Mxy的正定的二次齐次函数。
如果以广义应力{M}表示余应变能密度，则有
1~U*?{M}T[C]{M} （5-15）
2?1式中[C]?[D]。
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（5-12）式与（5-15）式都是以后经常要用到的表达式。注意，对于线弹性薄板，应变能密度与余应变能密度在数值上是相等的，即U?U。
将（5-9）式代入（5-5）式，得到以挠度表示的各向同性薄板的平衡方程为
~~*?4w?4w?4wD(4?222?4)?q(x,y) （5-16） ?x?x?y?y或
D?2?2w?q(x,y) （5-16/）
在处理具体问题时，经常遇到坐标旋转而引起的变换。如果坐标由oxy转变为o??，如图5-2所示，则两个坐标系中坐标的关系为
y??sin???cos??? （5-17）
??xcos??ysin?,???xsin??ycos??对于挠度w，有w(x,y)?w(?,?)，从而
x??cos???sin?,?w?w?w??cos??sin??????x?y? （5-18） ?w?w?w??sin??cos??????x?y?及二阶偏导为
图5-2 坐标转换
?2w?2w?2w?2w2?2?2cos??2sin?cos??2sin??2?x?y???x?y?2222??w?w2?w?w2?2sin??2sin?cos??2cos??2?x?y???x?y?? （5-19） 222?w?w?w??2cos?sin??(cos2??sin2?)????????x?y?x?2?w?cos?sin???y2?弯矩、扭矩的变换公式为
M??Mxcos2??2Mxysin?cos??Mysin2????22M??Mxsin??2Mxysin?cos??Mycos?? （5-20）
?M????Mxcos?sin??Mxy(cos2??sin2?)?Mycos?sin???剪力的变换公式为
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Q??Qxcos??Qysin??? （5-21）
Q???Qxsin??Qycos??在板的弯曲问题中，有三种典型的边界条件，简述如下。
设?为板在xy平面上的定义域，板的边界为C，令n为沿边界外向法线的方向，s为边界的切线，（n,s）的转向与（x,y）的转向是一致的，如图5-3所示。
第一种边界为固支边界C1，在这种边界上，其挠度与法向斜率均为给定的，即有
w?w,?w??n （在C1上） （5-22） ?n第二种边界为简支边界C2，在这种边界上，
Mn?Mn （在C2上） （5-23）
图5-3 板的边界
其挠度与法向弯矩为给定的，即有
w?w,第三种边界为自由边界C3，在自由边界上，作用在边界上的力为给定的。从内力和力矩看，
在边界上共有三个，即Mn,Mns,Qn，但其中并不完全独立，因为从作功角度来看，Mns和Qn并不完全独立。事实上，若边界上的挠度有一变分δw，则Mns,Qn在δw上所作之功δw是
δw??[?MnsC3?δw?Qnδw]ds （5-24） ?s利用分部积分，上式又可以写成
?Mns?Qn)δwds?Mnsδw|C3 （5-25）
C3?s?Mns由（5-25）式可见，切向扭矩Mns可以分解为沿着周边边界C3的分布载荷及作用于
?sC3两端的集中力|Mns|，而C3两端是支座（不是固支边便是简支边）。从实际板的受力来分析，可以看到集中力|Mns|为作用在角点上，一般是影响到支座上的力，而对板的变
?Mns形无影响。因此，分布载荷与剪力Qn构成沿自由边界C3上的分布力，这部分边界
?sδw??(力的虚功为
?与δw相对应的广义力为
C3(?Mns?Qn)δwds?s
?Mns?Qn，自由边的边界条件应取为 ?s?MnsMn?Mn,?Qn?q(s) （在C3上） (5-26)
?sq(s)为已知的作用在C3上的线分布载荷。
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