函数及其表示
求定义域的几种情况
R；
考点一
①若 f(x) 是整式，则函数的定义域是实数集
②若 f(x) 是分式，则函数的定义域是使分母不等于
0 的实数集；
0 的实数集合；
③若 f(x) 是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 ④若 f(x) 是对数函数，真数应大于零。
⑤. 因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
⑥若 f(x) 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑦若 f(x) 是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题
考点二
映射个数公式
m
Card(A)=m,card(B)=n, m,n 方法技巧清单 方法一
函数定义域的求法
N ,则从 A 到 B 的映射个数为 n
。简单说成“前指后底” 。
1．（2009 江西卷文）函数 y
x
4, 0)
得
2
3x 4 x
的定义域为
（
）
A． [ 4,1] 解析
B． [ C． (0,1] D ． [ 4, 0) (0,1]
由
x 0 x
2
4
x 0 或 0
x 1,故选 D.
3x 4 0
2．（2009 江西卷理）函数 y
ln( x x
2
1)
的定义域为
()
3x 4
C． (
A ． (
4, 1)
由
B ． (
4,1)
1,1) D． ( 1,1]
x 1 0
解析
x 1 4 x
1
x
2
1 x 1
.故选 C
3x 4 0
y
3.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数
1
有相同定义域的是
(
)
x
A . f (x) ln x
解析 由 y
B. f ( x)
1 x
C. f ( x) | x |
D. f ( x) e
x
1 x
x
可得定义域是
x 0. f ( x )
ln x 的定义域 x
0 ； f (x)
1 x
的定义域是
x ≠ 0； f ( x) | x |的定义域是
x R; f (x) e 定义域是 x
4.（2007 年上海） 函数 y
R 。故选 A. x ) 3
lg( 4
x
的定义域是
．答案
x x 4 且 x
3
5.求下列函数的定义域。① y= x 2
x 2 .② y=
x
x
1
x
2
.③y=
x 1 1 x
6.已知函数 f(x) 的定义域为 方法二 函数概念的考察
1,5 ，求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1) 的定义域。
5
2
x
ln x
1. 下列各组函数中表示同一函数的是（
） A.y=
5
x
和
y
x
B.y=ln e y
和e
1
C. y
x 1 x 3
x 1
和 y
x 3
D. y
0
x
和y
1
0
x
2．函数 y=f(x) 的图像与直线
A.0个 B.1个
2
x=2 的公共点个数为 C. 0个或 1个
D. 不能确定
3．已知函数 y=
方法三
2 定义域为x分段函数的考察
1,0.1,2 ，则其值域为
ⅰ 求分段函数的定义域和值域
2x+2 x
1,0
x
1 求函数 f(x)=
1 x 2
3
0,2
的定义域和值域
x
2,
2（ 2010天津文数） 设函数 g (x)
9x
2
2(x R) ， f ( x)
)
{
g ( x) x 4,x g ( x), g ( x) x,x g( x).
（A ）
,0
(1,
)
（ B） [0,
（C） [
4
9 , 4 2
，) （ D ）
9
则 f (x) 的值域是
,0
(2, 1或 x
)
4
22
x
2
2 (x 4), x x
2
xx
2, x 2
【解析】依题意知
f ( x) x2 2 x, x x2
2
f ( x)
2 x, 1 x 2
ⅱ求分段函数函数值
f ( f (
3．（2010 湖北文数） 3.已知函数 f ( x)
log3 x, x 0 2 , x
x
，则
1 9
))
0
A.4
B.
1 4
C.-4
D-
1
4
【解析】根据分段函数可得
ⅲ解分段函数不等式
f ( 1 ) 9
log3 1
9
2 ，则 f ( f ( 1 ))
9
f ( 2) 2
2
1 ，所以 B 正确. 4
4.（2009 天津卷文）设函数
f ( x)
x2
4x 6, x 0 6, x
) x
x 0
则不等式 f ( x)
f (1) 的解集是（
）
A. ( 3,1) (3, )
B. ( 3,1) (2, C. ( 1,1) (3, ) D. ( , 3) (1,3) 3, 3
答案 A解析 由已知，函数先增后减再增当
0 ， f ( x) 2 f (1) 3 故 f ( x)
x
x
f (1)
3令 f (x) 3 ，解得
2
解得 x 1, x 3。当 x 0 ， x 6
f ( x)
3, x
2x 1或 x 3
5．（2009 天津卷理）已知函数
x 4x,
2
4x x ,
)
0 若 f (2 a ) 0
C (
f (a), 则实数 a
的取值范围是 A
( , 1) (2, B ( 1,2)
22,1) 2
a
D
( , 2) (1, )
解析：由题知
f ( x) 在 R
上是增函数，由题得
2 a
a ，解得 1 ，故选择 C。
2
1
, x
6.（2009 北京理）若函数 f ( x)
x
0
则不等式 | f (x) |
() , x
3
1
1
x
的解集为 ____________.
0
3
解析 （ 1）由 | f ( x) | 1
x 0 1 1 3 x 0 .（2）由 | f ( x) |
1
x 0 1 x x
1 0 1 x
1 0 x 1.
3
3
x
3
3
3
3
3
∴不等式 | f ( x) |
1 的解集为 x | 3 x
1 ，∴应填
3,1 .
3
log 2 x, x 0,
7。（2010 天津理数） 若函数 f(x)=
log 1 ( x), x 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是
2
（A）（-1，0）∪（ 0，1） （B）（ -∞， -1）∪（ 1,+∞） （C）（-1，0）∪（ 1,+∞） （ D ）（-∞， -1）∪（ 0,1）
【答案】 C 由分段函数的表达式知，需要对
a 的正负进行分类讨论。
a
0
a<0
a
0 a
0
f ( a)
f ( a)
log log log1或 1
2 a log
1 a 或
1 ( a)
2 ( a)
a
21或
-1
a 0
a
a
a
2
2
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于 0，同事要注意底数在（
0，等号的方向不要写错。
ⅳ解分段函数方程
8．（2009 北京文）已知函数 3x
, x 1,
f ( x)
若 f ( x)
2 ，则 x
.
x,
x 1,
.w
解析 5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求
x 的值 . 属于基础知识、基本运算的考查 . x
1
，
x 1
无解，故应填由
x
log3 2
log 3 2 .
3x
2
x 2
x
2
方法四 求函数的解析式
1． 求下列函数的解析式
① 已知
f x3
, 求f
1
13 ( x).
x
x
2
x
② 已知 f
1
lg x，求 f ( x).
x
③
已知 f(x)是二次函数，若 f(0)=0, 且 f(x+1)=f(x)+x+1, 求 f(x).
④
已知 f(x)满足 2 fx 1
f
3x.
求 f(x).
x
方法五 函数图像的考察
）上时，不
3
1
高中数学必修1函数及其表示题型总结
