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“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．
20．（10分）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出要求事件的概率． 【解答】解：画树状图得：
则一共有8种等可能的情况， （1）∵2个女孩和1个男孩的3种，
∴这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率为：；
（2）∵这个家庭至少有一个男孩的有7种情况， ∴这个家庭至少有一个男孩的概率为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（15分）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P． （1）求证：PA?PE=PC?PF； （2）求证：
；
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（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．
【分析】（1）连接AB，根据弦切角定理和圆周角定理的推论得到∠CAB=∠F，∠CAB=∠E，则∠F=∠E，根据内错角相等，得到AF∥CE，再根据平行线分线段成比例定理进行证明；
（2）利用（1）的比例式，两边同平方，再根据切割线定理进行等量代换即可； （3）要求两个三角形的面积比，根据（1）知：两个三角形相似．所以只需求得它们的一组对应边的比，根据所给的线段的比值，结合勾股定理的逆定理发现Rt△PCE，连接AE，AE即是直径．又根据平行线的性质得到∠PAF=90°，则AF是圆的直径．根据勾股定理得到x与y的比值，从而得到三角形的面积比． 【解答】（1）证明：连接AB， ∵CA切⊙O'于A， ∴∠CAB=∠F． ∵∠CAB=∠E， ∴∠E=∠F． ∴AF∥CE． ∴
．
∴PA?PE=PC?PF．
（2）证明：∵∴
=
．
，
∴．
再根据切割线定理，得PA2=PB?PF，
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∴
．
（3）解：连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA， 而PC：CE：EP=3：4：5， ∴PA：FA：PF=3：4：5．
设PC=3x，CE=4x，EP=5x，PA=3y，FA=4y，PF=5y， ∴EP2=PC2+CE2，PF2=PA2+FA2． ∴∠C=∠CAF=90°．
∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径． ∵⊙O与⊙O'等圆， ∴AE=AF=4y． ∵AC2+CE2=AE2
∴（3x+3y）2+（4x）2=（4y）2即25x2+18xy﹣7y2=0， ∴（25x﹣7y）（x+y）=0， ∴∴
．
．
【点评】此题综合运用了切线的性质、圆周角定理的推论、切割线定理以及相似三角形的性质和判定，难度比较大，综合性比较强．
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2017年武汉市华中师范大学第一附属中学自主招生数学试卷
