第七章 数列与数学归纳法
结论也成立；
根据①②，对于任意n?N，结论都成立. 证毕 【习题答案】 1.3
2.证：①当n?1时，等式显然成立； ②假设当n?k时，等式成立，即
*1?2?2?3??k(k?1)?当n?k?1时，
k(k?1)(k?2)
31?2?2?3??k(k?1)?(k?1)(k?2)k(k?1)(k?2)(k?1)(k?2)(k?3) ??(k?1)(k?2)?33等式也成立；
根据①②，对于任意n?N，等式都成立. 证毕 3.1?2?22?23?24,25k?25k?1?25k?2?25k?3?25k?4 4.证：①当n?1时，等式显然成立；
②假设当n?k时，等式成立，即
*?1?3?5??(?1)k(2k?1)?(?1)kk 当n?k?1时，
?1?3?5??(?1)k(2k?1)?(?1)k?1(2k?1)?(?1)kk?(?1)k?1(2k?1) ?(?1)k?1[?k?(2k?1)]?(?1)k?1(k?1)
等式也成立；
根据①②，对于任意n?N，等式都成立. 证毕 5.n?1,f(1)?5?2?1?8能被8整除；
1*f(k)；
5k?3k?1是偶数，因此4(5k?3k?1)也是8的倍数. 6.证：①当n?1时，结论显然成立； ②假设当n?k时，结论成立，即
2k?1Sk?k?1
2当n?k?1时，
Sk?2a12k?12k?1?2k2k?1?1Sk?1??k?1??
222k2k结论也成立；
根据①②，对于任意n?N，结论都成立. 证毕
7.错误：证明时未用归纳假设.
2修正：k?3k?2?*(k2?k)?2k?2?(k?1)2?2k?2 ?k2?4k?3?k2?4k?4?k?2
11713?8.证：①当n?2时，??，不等式显然成立；
341224②假设当n?k(k?2)时，不等式成立，即
第七章 数列与数学归纳法
11113???? k?1k?22k24当n?k?1时，
11111 ?????(k?1)?1(k?1)?2(k?1)?k?1(k?1)?k(k?1)?k?111111?????? k?2k?32k2k?12k?211111113111?(???)??????? k?1k?22k2k?12k?2k?1242k?12k?2k?1131113113??? ???242k?12k?224(2k?1)(2k?2)24不等式也成立；
根据①②，对于任意n?N*,n?2，不等式都成立. 证毕
229.(1)n?2,(a1?a2)2?a1?a2?2a1a2；
22n?3,(a1?a2?a3)2?(a12?a2?a3)?2(a1a2?a1a3?a2a3)
222n?4,(a1?a2?a3?a4)2?(a12?a2?a3?a4)?2(a1a2?a1a3?a1a4?a2a3?a2a4?a3a4)(2)证：①当n?2时，等式显然成立； ②假设当n?k(k?2)时，等式成立，即
22(a1?a2??ak)2?a12?a2??ak?2(a1a2?a1a3??ak?1ak) 当n?k?1时，
2(a1?a2??ak?ak?1)2?(a1?a2??ak)2?ak?ak)ak?1 ?1?2(a1?a2?2?a12?a2?2?a12?a2?2?ak?2(a1a2?a1a3?2?ak?1ak)?ak?1?2(a1?a2?
?ak)ak?1 ?ak)ak?1]
22?ak?ak?1?2[a1a2?a1a3??ak?1ak?(a1?a2?2?a12?a2?22?ak?ak?1?2(a1a2?a1a3??akak?1)
等式也成立；
根据①②，对于任意n?N,n?2，等式都成立. 证毕 10.(1)证：①当n?1时，1?5?1?6结论显然成立；
②假设当n?k时，结论成立，即
3*k3?5k能被6整除； 当n?k?1时，
(k?1)3?5(k?1)?(k3?3k2?3k?1)?(5k?5)?(k3?5k)?(3k2?3k)?6
?(k3?5k)?3k(k?1)?6
因为k,k?1中必有一个为偶数，所以3k(k?1)能被6整除，
因此(k?5k)?3k(k?1)?6能被6整除， 结论也成立；
根据①②，对于任意n?N，结论都成立. 证毕 (2)证：①当n?1时，等式显然成立； ②假设当n?k时，等式成立，即
*31?k?2?(k?1)?3?(k?2)??k?1?k(k?1)(k?2)
6第七章 数列与数学归纳法
当n?k?1时，
1?(k?1)?2?(k?1?1)?3?(k?1?2)??k?2?(k?1)?1
?(1?k?1)?[2?(k?1)?2]?[3?(k?2)?3]??(k?1?k)?(k?1) ?[1?k?2?(k?1)?3?(k?2)??k?1]?[1?2?3??k?(k?1)] k(k?1)(k?2)(k?1)(k?2)(k?1)(k?2)(k?3)???
626等式也成立；
根据①②，对于任意n?N，等式都成立. 证毕
*n2?n?211.
2
7.5 数学归纳法的应用(含答案)
