∴当n＝9或n＝10时，数列{an}有最大项，最大项为a9或a10.
n＋2
12．解：(1)由a1＝1与Sn＝an可得
3
2＋2S2＝a2＝a1＋a2?a2＝3a1＝3，
33＋22S3＝a3＝a1＋a2＋a3?a3＝a1＋a2＝4?a3＝6.
33
故所求a2，a3的值分别为3,6.
n＋2
(2)当n≥2时，Sn＝an，①
3
n＋1Sn－1＝an－1，②
3
n＋2n＋1
①－②，可得Sn－Sn－1＝an－an－1，即
33
n＋2n＋1n－1n＋1ann＋1an＝an－an－1?an＝an－1?＝.
3333an－1n－1
anan－1a2n＋1n3n2＋n故有an＝××…××a1＝××…××1＝.
an－1an－2a1n－1n－2122
1＋1n2＋n而＝1＝a1，所以{an}的通项公式为an＝.
22第2讲 等差数列
1．B 解析：设公差为d，则2a7－a8＝2(a1＋6d)－(a1＋7d)＝a1＋5d＝a6＝5，S11＝a1＋a11
11×＝11a6＝55.故选B.
2
22
2．D 解析：因为S1，S2，S4成等比数列，有S2＝S1S4，即(2a1－1)＝a1(4a1－6)，解得1a1＝－.
2
3．A 解析：由a1＋a7＋a13是一个确定的常数，得3a7是确定的常数，故②正确；S13＝13a1＋a13
＝13a7是确定的常数，故③正确；S8－S5＝a6＋a7＋a8＝3a7是确定的常数，故⑤
2正确．
2
4．A 解析：设等差数列的公差为d，由a2，a3，a6成等比数列，可得a3＝a2a6，即(122
＋2d)＝(1＋d)(1＋5d)．整理，可得d＋2d＝0.∵d≠0，∴d＝－2.则{an}前6项的和为S6
6×56×5
＝6a1＋d＝6×1＋×(－2)＝－24.
22
5．A 解析：根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1＝103，公差d1＝13的等差
nn－113
数列．前n天共跑的里程为S′＝na1＋d1＝103n＋n(n－1)＝6.5n2＋96.5n；驽
22
马每日行程也构成一个首项b1＝97，公差d2＝－0.5的等差数列，前n天共跑的里程为S′
nn－10.5
＝nb1＋d2＝97n－n(n－1)＝－0.25n2＋97.25n.两马相逢时，共跑了一个来
22
22
回．设其第n天相逢，则有6.5n＋96.5n－0.25n＋97.25n＝1125×2，解得n＝9.即它们第9天相遇．故选A.
6．A 解析：∵关于x的不等式x＋?a1－?x＋c≥0的解集是[0,22]，∴
2?2?
d2
?
d?
16
?a－d?－d2＝22，?2
1
d<0，
21d解得a1＝－.
2
21d?23?∴an＝a1＋(n－1)d＝－＋(n－1)d＝?n－?d.
2?2?
23?23?11??可得a11＝?11－?d＝－d>0，a12＝?12－?d＝d<0. 2?2?22??
故使得数列{an}的前n项和最大的正整数n的值是11. 111117. 解析： 由an＋1＝an－2an＋1an，得－＝2，故数列{}是首项＝2，公差d＝216an＋1anana1
11
的等差数列，则＝2＋2(n－1)＝2n.故a8＝.
an16
*
8．130 解析：由an＝2n－10(n∈N)，知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列．令an＝2n－10≥0，得n≥5.所以当n<5时，an<0；当n≥5时，an≥0.所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝S15－2(a1＋a2＋a3＋a4)＝90＋40＝130.
9．解：(1)设{an}的公差为d，由题意，得 2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.
22n＋3
解得a1＝1，d＝.所以an＝.
55?2n＋3?.
(2)由(1)知，bn＝??
?5?2n＋3
当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；
52n＋3
当n＝4,5时，2<<3，bn＝2；
5
2n＋3
当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；
52n＋3
当n＝9,10时，4<<5，bn＝4.
5
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 10．(1)证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2，得 an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2. 又b1＝a2－a1＝1，
所以{bn}是以首项为1，公差为2的等差数列． (2)解：由(1)，得bn＝1＋2(n－1)， 即an＋1－an＝2n－1.
于是
?(ak?1nk＋1
－ak)＝
2
?(2k－1)，
k?12
n所以an＋1－a1＝n，即an＋1＝n＋a1.
2
又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n－2n＋2.
11．(1)证明：由题意，得anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1. 两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)解：由题意，得a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1.
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
17
故an＋2－an＝4，由此可得
{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3； {a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 第3讲 等比数列
1．D 解析：因为数列{an}是等比数列，a6＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．
2．B 解析：由等比数列性质，得Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，则(S2n－2
Sn)＝Sn·(S3n－S2n)．所以(S2n－2)2＝2×(14－S2n)．又S2n>0，得S2n＝6.又(S3n－S2n)2＝(S2n2
－Sn)(S4n－S3n)，所以(14－6)＝(6－2)(S4n－14)，解得S4n＝30.
3．D 解析：方法一，在等比数列{an}中，
2
1－an·
3a1－anqSn＝＝＝3－2an.
1－q2
1－
3
2
方法二，在等比数列{an}中，a1＝1，q＝，
3
?2?n－1?2?n－1
∴an＝1×??＝??.
?3??3???2?n?1×?1－???
??3????2?n?
∴Sn＝＝3?1－???
2??3??1－3
?2?2?n－1?＝3?1－???＝3－2an. ?3?3??
4．A 解析：因为a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝2a，a3＝S3－S2＝6a，由等比数列，得公比q＝＝3.又a2＝a1q，所以2a＝3(a＋b)，解得＝－3.
31
5．D 解析：∵等比数列{an}的首项为，公比为－，
22
3??1?n??1－?－??2??2???1?n?1?n∴Sn＝＝1－?－?.当n取偶数时，Sn＝1－??<1；当n取奇数时，Sn＝1
1??2??2??－1－???2?133?1?n＋??≤1＋＝.∴Sn的最大值为.故选D.
222?2?
6．1 解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a4＝b4＝8，得
a2－1＋33
－1＋3d＝－q＝8，解得q＝－2，d＝3.则＝＝1.
b22
7．40 解析：设{an}的公比为8，由S7－4S6＋3S5＝0，可得S7－S6－3(S6－S5)＝0?a7
4
a11－q41－3
－3a6＝0，所以q＝3.所以S4＝＝＝40.
1－q1－3
1n8．2－n－1＋1 解析：依题意，得大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比
2
n1×1－2n的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为＝2－1；
1－2
2
a3a2ab 18
??1?n?1×?1－???
1??2??
同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为＝2－n－1.
121－2
11nn所以Sn＝2－1＋2－n－1＝2－n－1＋1.
22
1
9．解：(1)由a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.
3
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝.
3
bn?1?n1－??
1?3?3
因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－
312
1－3
1
n－1. 2×3
10．解：(1)由题意，得a1＝S1＝1＋λa1.
1
故λ≠1，a1＝，a1≠0.
1－λ由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.
an＋1λ＝. anλ－1
1λ1?λ?n－1
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝??.
1－λλ－11－λ?λ－1?
?λ?n.
(2)由(1)，得Sn＝1－??
?λ－1?
31?λ?5＝31，即?λ?5＝1， 由S5＝，得1－???λ－1?32
32?λ－1?32??解得λ＝－1.
11. 解：(1)当n＝1时，S1＝2a1－2，即a1＝2a1－2. 解得a1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－2)－(2an－1－2)＝2an－2an－1，即an＝2an－1. 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
n－1n*
所以an＝2×2＝2(n∈N)．
n＋1
(2)因为Sn＝2an－2＝2－2,
23n＋1
所以Tn＝S1＋S2＋…＋Sn ＝2＋2＋…＋2－2n
由a1≠0，λ≠0，得an≠0，所以＝4×
1－21－2
n－2n＝2
n＋2
－4－2n.
第4讲 数列的求和
1．B 解析：由题意，得数列{an}的通项公式为
1?111?1－an＝2＝＝??，
4n－12n＋12n－12?2n－12n＋1?1??1?所以数列{an}的前n项和Sn＝??1－?＋
3?2??
19
?1－1?＋?1－1?＋…＋?1－1?? ?35??57??2n－12n＋1?????????
1?1?n＝?1－＝.故选B. ?2n＋1?2n＋12?
2．A
3
3．B 解析：设公差为d.由5a8＝8a13，得5(a1＋7d)＝8(a1＋12d)．解得d＝－a1.由
61
641?3?an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)·?－a1?≥0?n≤＝21. 33?61?
∴数列{an}的前21项都是正数，以后各项都是负数． 故Sn取最大值时，n的值为21.故选B.
2
4．C 解析：由Sn＝n－6n，得{an}是等差数列， 且首项为－5，公差为2.
∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7.
∴当n≤3时，an<0；当n>3时，an>0.
6n－n??
∴Tn＝?1≤n≤3，
??n2－6n＋18，n＞3.
2
15．B 解析：由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比列，则
2
a1?1－6?2
??
1?
?
11－2
＝378.解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里路．故选B.
20
6. 解析：由题意，得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1 11
nn＋1
＝n＋n－1＋n－2＋…＋1＝.
21?12?1
所以＝＝2×?－?.
annn＋1?nn＋1?
11?1?20?1111?S10＝2×?－＋－＋…＋－?＝2×?1－?＝. 1011??1223?11?11
n2－n＋27. 解析：设第n(n≥2)行的第2个数构成数列{an}，则有a3－a2＝2，a4－a3
2
2＋n－1
＝3，a5－a4＝4，…，an－an－1＝n－1，相加，得an－a2＝2＋3＋…＋(n－1)＝×(n2
n＋1n－2n＋1n－2n2－n＋2
－2)＝，an＝2＋＝.
222n*n8．n·2(n∈N) 解析：由Sn＝2an－2，得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，Sn＝2(Snn－Sn－1)－2，
即n－n－1＝1.所以数列?n?是首项为1，公差为1的等差数列，则n＝n，Sn＝222?2?
n·2n(n≥2)．当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)．
1
9．解：(1)当n＝1时，由6a1＋1＝9a1，得a1＝. 3
当n≥2时，由6Sn＋1＝9an，得6Sn－1＋1＝9an－1， 两式相减，得6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)， 即6an＝9(an－an－1)．∴an＝3an－1.
SnSn－1?Sn?Sn 20
（人教版）2020版高考数学一轮复习 第五章 数列课时作业 理
