1．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是( ) A．一条线段 B．一段圆弧 C．两个孤立点 D．一个圆 解析：选D.由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆． 2．(2014·高考福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所
→→→→
在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于( ) →→A.OM B．2OM
→→C．3OM D．4OM
解析：选D.因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，
→→→→→→
由平行四边形法则知OA＋OC＝2OM， OB＋OD＝2OM， →→→→→故OA＋OC＋OB＋OD＝4OM. 3．(2016·邯郸模拟)
→→→
如图所示，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( )
→
A．0 B.BE →→C.AD D.CF
→→→→→→→→→
解析：选D.由题图知BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝BF－BC＝CF. 4．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的
→→→
两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝( )
11
A．a－b B.a－b
2211
C．a＋b D.a＋b
22
→1→1
解析：选D.连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，所以
22
1→→→
AD＝AC＋CD＝b＋a.
2
5．(2016·济南模拟)
→1→→如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且AD＝AC＋λAB
4
(λ∈R)，则AD的长为( )
A．23 C．43 解析：选
B．33 D．53
13
B．因为B，D，C三点共线，所以有＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB
44的平行线交AB，AC于点M，N，
→1→→3→则AN＝AC，AM＝AB，
44
经计算得AN＝AM＝3，AD＝33. 6．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子： →→→→→→→→→→→→
①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
→→→→→→→→
解析：选C.①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA＋DC，不一定
→→→→→→→→→
相等；②式的等价式是AC－BC＝AD－BD，AC＋CB＝AD＋DB＝AB成立；③式的等价式是→→→→→→
AC－DC＝AB＋BD，AD＝AD成立． 7．(2016·陕西省质检)已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________．
解析：因为向量a与向量b共线，可得b＝ma(m≠0)，整理得e1＋λe2＝2me1－me2，则
??2m＝1，1
所以λ＝－. ?2
?λ＝－m，?
1答案：－ 2
→→→→→
8．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3 NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．
→→→→
解析：由AN＝3 NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，
1→
AM＝a＋b，
2
111→3
a＋b?＝－a＋b. 所以MN＝(a＋b)－??2?444
11
答案：－a＋b
44
→→→→
9．(2016·九江监测)已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满
→→→→
足等式 OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________．
→→→→
解析：因为OA＋OC＝OB＋OD，
→→→→所以OA－OB＝OD－OC，
→→
所以BA＝CD，BA綊CD， 所以四边形ABCD为平行四边形． 答案：平行四边形
10．(2015·高考全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________． 解析：因为 λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，
??λ＝t，即λa＋b＝ta＋2tb，所以?
1＝2t，??
?
解得?1
t＝?2.
λ＝2，
1
1答案：
2
11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？ 解：因为d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2) ＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2， 要使d与c共线， 则应有实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
??2λ＋2μ＝2k，即?得λ＝－2μ. ?－3λ＋3μ＝－9k，?
故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
12.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且
→→→→
GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.
→1→→11解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.
222
→→→→2→→1→→2→1→→AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)
3333
1→1→＝AB＋AC 3311＝a＋b. 33
优化方案高考理科数学北师大一轮复习练习：第4章 平面向量数系的扩充与复数的引入 第1讲知能训练轻松闯关
