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3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
课后训练
1．设O(0,0,0)，M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若OM＝AB，则点B的坐标为( ) A．(－1,3，－3) B．(9,1,1) C．(1，－3,3)
D．(－9，－1，－1)
2．设l1的方向向量为a＝(2,4,5)，l2的方向向量为b＝(3，x,3y)，若l1∥l2，则x，y的值分别是( )
5 25C．3,15 D．3，
2A．6,15 B．6，
3．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )
A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1
4．已知直线l的方向向量为v＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－4,5,2)，则l与α的关系是( )
A．l⊥α B．l∥α
C．lα D．l∥α或lα 5．已知平面α过点A(1，－1,2)，法向量有n＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是( ) A．(2,3,3) B．(3，－3,4) C．(－1,1,0) D．(－2,0,1)
6．已知A，B，P三点共线，则对空间任一点O，OP＝αOA＋βOB，那么α＋β＝__________.
7．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝__________，z＝__________.
8．直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则三角形ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边所成的图形可能是__________．
9．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点，求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.
10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.
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参考答案
1. 答案：B 由OM＝AB得(5，－1,2)＝(x－4，y－2，z＋1)，可得点B(9,1,1)． 2. 答案：B a∥b?5245，故x，y的值分别是6，. ??23x3y3. 答案：A ∵|a|＝22?42?x2=6， ∴x＝±4.
又∵a·b＝2×2＋4×y＋2×x＝0， ∴y＝－1±2， ∴x＋y＝－3或1.
4. 答案：D 因为v·u＝0，所以l∥α或lα. 5. 答案：A 设M(x，y，z)为平面内一点， ∴AM·n＝0，即2(x－1)－(y＋1)＋2(z－2)＝0. 又∵A项中坐标满足上式，∴选A. 6. 答案：1
33?12?yz?3?? 因为AB＝(－1,2－y，z－3)，AB∥v，故，
222?1333故y?，z?.
227. 答案：
8. 答案：一条线段或一个钝角三角形
9. 答案：证明：不妨设已知正方体的棱长为1，以A为坐标原点，AB，AD，AA′的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz.由已知条件得M?1,0,?，
??1?2???B(1,0,0)，C(1,1,0)，A′(0,0,1)，N?,,?，B′(1,0,1)．所以MN＝??,,0?，
?111??222??11?22A'C＝(1,1，－1)，BB?＝(0,0,1)．因为MN·A'C＝0，
所以MN⊥A′C.又MN·BB′＝0，所以MN⊥BB′.
10. 答案：解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E?1,,0?，F??1?2???1?,1,0?，点M(1,1，?2?m)，
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则EF＝??,,0?，B1E＝?0,?,?1?，D1M＝(1,1，m－1)． ∵D1M⊥平面EFB1，
∴D1M⊥EF且B1E⊥D1M，
∴D1M·EF＝0，D1M·B1E＝0，
?11?22????12???11????m?1??0?0,??22∴?
1?1?0??1?m?0,??2∴m?1. 2故取B1B的中点M，能满足D1M⊥平面EFB1.
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[推荐学习]高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.2平面的法向量与
