v1.0 可编辑可修改 令u?y，则y?ux xdy?udx?xdu
代入齐次方程中，得
(u?1?u2)dx?(udx?xdu)?0
du1?u2两端积分，得
?dx xlnu?1?u2?lnCx u?1?u2?Cx
将u?
y
代回，得 x
y?x2?y2?Cx2
将初始条件y(1)?0代入，得1?0?C,C?1。 故满足方程初始条件的特解为
y?x2?y2?x2
移项，两端平方x?y?(x?y)
整理后得 y?此即为所求特解。
（4）将方程变形，得
222212(x?1) 2dyx(4?y2）? dxy(1?x2)此为变量可分离方程。分离变量，得
d(4?y2)d(1?x2)ydyxdx???
4?y21?x24?y21?x2两端积分得 ln(4?y)??ln(1?x)?lnC
22(4?y2)(1?x2)?C （C为任意常数）
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v1.0 可编辑可修改 将初始条件yx?0?1代入，得C?5
因此满足方程初始条件的特解为
(4?y2)(1?x2)?5
例4 判断方程的类型，并求解： （1）y?cosx?ysinx?1
（2）xdy?(2xy?x?1)dx?0，y(1)?0 （3）xy??(2?3x)y?0,y(1)?1 *（4）ylnydx?(x?lny)dy?0 （5）y??ex?y322?ex?0
解 （1）方程变形为
y??ytanx?secx
这是一阶线性非齐次方程
方法一：用公式法
?p(x)dxp(x)dxy?e?[?q(x)e?dx?C]
这里p(x)?tanx,q(x)?secx,于是通解为
y??e?tanxdx[?secxe?tanxdxdx?C]
??elncosx[secxe?lncosxdx?C]
??cos[?secx?secxdx?C]
?cosx(tanx?C)
?sinx?Ccosx （C为任意常数）
方法二：用常数变易法
先求出齐次方程y??ytanx?0的通解； 将y??ytanx?0变形为12精品文档
dy??tanxdx,两端积分得 yv1.0 可编辑可修改 lny?lncosx?C1
即齐次方程的通解为y?C1cosx(C1为任意常数）
设y?C(x)cosx,将其代入非齐次方程，得
C?(x)cosx?secx,C?(x)?sec2x
积分求得 C(x)?sec2xdx?tanx?C
?故所求方程的通解为
y?(tanx?C)cosx?sinx?Ccosx（C为任意常数）
（2）方程变形为
dy211?y??2 dxxxx此为一阶线性非齐次方程
用公式求解：这里p(x)?211,q(x)??2，于是方程的通解为 xxxy?e??xdx211?xdx[?(?2)edx?C]
xx211?e?2lnx[?(?2)e2lnxdx?C]
xx1112 ?2[?(?2)xdx?C]
xxx112 ?2[(x?x)?C]
x211C ???2（其中C为任意常数）
2xx1将初始条件y(1)?0代入，得C?，因此方程满足初始条件的特解为
2111y???2
2x2x（3）方程变形为
2?3x2y??y?0 3x这是一阶线性齐次方程，用公式求通解为
y?Ce13精品文档
??2?3x2x3dx1?Cex2?3lnx1?Cx3ex
2v1.0 可编辑可修改 将初始条件y(1)?1代入，得C?1，因此方程满足初始条件的特解为 ey?xe31?1x2
*（4）将y看作自变量，x看作未知函数，则原方程是关于未知函数x??(y)的一阶线性非齐次方程。
dx11?x?,(y?1) dyylnyy这里p(y)?11,q(y)?,于是通解为 ylnyyx?e??ylnydy11?ylnydy[?edy?C] y1 ?e?lnlny1[?elnlnydy?C] y?1lny[?dy?C] lnyy112(lny?C) lny21Clny?（C为任意常数） 2lny??（5）该方程是一阶非线性方程，是可分离变量型方程，原方程变形为
y??ex(e?y?1)?0
eydydyxx?edx ?edx,y?y1?ee?1yx积分得 ?ln(e?1)?e?C，e?1?Cexy?ex
故通解为 y?ln(1?Ce?e)（C为任意常数） 小结
（1）从上面的例子看出，判断方程的类型是最基本的，分清类型才能确定求解的办法，这不仅是对一阶微分方程而言的，对其它的微分方程也是如此。 14精品文档
v1.0 可编辑可修改 （2）对一阶微分方程来说，如果它是形如y??f(x)g(y)的方程，则属于变量可分离方程；如果方程形如y??f()，则属于齐次方程。有些方程则需作适当代换，化成上述两种类型。如y??f(ax?by?c)，令u?ax?by?c，则可化成变量可分离的形式。
（3）一阶线性微分方程是一阶微分方程中比较基本而又重要的类型之一，它可以用公式
?p(x)dxp(x)dx[q(x)e?dx?C] ① y?e?yx?求通解，也可以用常数变易法求通解，用公式法求通解时，要注意先把方程化成标准形式
y??p(x)y?q(x) ②
这亲才能准确地确定出p(x)、q(x)。用公式法求通解时，要先求出齐次方程的通解
?p(x)dx，然后将常数C变成待定函数C(x)，即令 y?Ce??p(x)dx y?C(x)e? ③
为非齐次方程的通解，代入原方程求出C(x)，将C(x)代回③，这样便得到方程②的通解。
（4）一阶线性非齐次方程的通解式①可写成下面两项之和
?p(x)dx?p(x)dx?p(x)dxdx y?Ce??e?q(x)e?上式右端第一项是对应的齐次线性方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解（在通解式①中取C?0便得到这个特解）。由此可知，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。 例5 求下列微分方程的通解。
（1）y???xe （2）yy???(y?)?0 （3）(1?x)y???2xy?,y(0)?0,y?(0)?3 （4）y???(y?)?y?
分析 这些都是可降价的二阶微分方程式，可用变量代换的方法将它们化为一阶微分方程来求解。 15精品文档
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微分方程的例题分析及解法
