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平面向量单元检测
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）学科网 一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．学科网 ???31?1. 设a?(,sin?)，b?(cos?,)，且a//b，则锐角?为（ ）
23A．300 B．600 C．750 D．450
2.P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
3．设a，b是非零向量，若函数f（x）=(ax+b)·(a-xb)的图象是一条直线，则必有 （ ）
A．a⊥b
B．a∥b
C．|a|?|b|
D．|a|?|b|
????????4．设点A(2,0)，B(4,2),若点P在直线AB上，且AB?2AP，则点P的坐标为（ ）
A．(3,1) B．(1,?1) C．(3,1)或(1,?1) D．无数多个 5．已知△ABC中，AB=
，AC=1 ∠B=30° 则△ABC面积为（ ）
A、 B、 C、或 D、或
6．给出下面四个命题：
①对于任意向量a、b，都有|a·b|≥a·b成立； ②对于任意向量a、b，若a2=b2，则a=b或a= -b；
③对于任意向量a、b、c，都有a·(b·c)=(b·c)·a成立； ④对于任意向量a、b、c，都有a·(b·c)=(b·a)·c成立. 其中错误的命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记AB、BC 分别为a、b，
则AH=（ ） A．
25AHDFBECa-2545b B．
4525a+
45b b
C．-
558．已知△ABC的周长为9，且sinA:sinB:sinC?3:2:4，则cosC的值为
a+b D．-
2a-
4（ ）
A．?14 B．
14 C．?23 D．
23
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9．设平面上有4个互异的点A、B、C、D，已知A. 直角三角形
，则△ABC的形状是（ ）
D. 等边三角形
B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形
10．P?{?|??(?1?,1?)?m(1?,?2)?,?m?R}，Q?{?|??(1?,??2)?n(2?,?3)?,?n?R}是两个向量集合，则P?Q等于（ ）
A．{(1?,??2)} B．{(?13,??23)} C．{(?2?,1?)} D．{(1?23,??13)}
11．设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0. 如果向量b1、b2、b3满足|bi|?2|ai|，且ai顺时针旋转300后与bi同向，其中i?1?,?2?,?3，则（ ）
A．?b1?b2?b3?0 B．b1?b2?b3?0 C．b1?b2?b3?0 D．b1?b2?b3?0 12．已知|p|=22,|q|=3,p、q的夹角为
?4????，如下图所示，若AB =5p+2q,AC=p－3q，且D为BCCD????的中点则AD的长度为 （ ） AB
A.
152 B.
152 C.7 D.8
第II卷 （共90分）学科网 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．学科网 →
13．与向量a =(12,5)平行的单位向量为 14．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，则c＝ .
→→→→→
15．非零向量OA=a、OB=b,若点B关于OA所在直线的对称点为B1,则向量OB1为 16．把函数y?2x2?4x?5的图象按向量a平移后，得到y?2x2的图象，且a⊥b,c=(1,-1),b·c=4,则b= .
三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科网 17. （本大题满分10分）
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已知|a|?4，|b|?2，且a与b夹角为120°求： ⑴(a?2b)?(a?b)； ⑵|2a?b|； ⑶a与a?b的夹角。
18.（本大题满分12分）
已知a?(1,2),b?(?3,2),当k为何值时，
????（1）ka?b与a?3b垂直？
??（2）ka?b与a?3b平行？平行时它们是同向还是反向？
19. ( 本大题满分12分)
????已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，
（1）求t的值；
???（2）求证：b⊥（a+tb） ?
20. （本大题满分12分）
已知OP=(2,1)，OA=(1,7) ，OB=(5,1)，设M是直线OP上一点，O是坐标原点，
(1) 求使MA?MB取最小值时的OM； (2) 对（1）中的点M，求?AMB的余弦值。
21. （本大题满分12分）
已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v?f(u)表示
（1）证明：对于任意向量a,b及常数m,n恒有f(ma?nb)?mf(a)?nf(b)成立 （2）设a=(1,1),b=(1,0)求向量f(a)及f(b)的坐标 （3）求使f(c)?(p,q)(p,q为常数）的向量c的坐标
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22. （本大题满分12分）
??已知向量a,b满足|a|?|b|?1,,且|ka?b|?????3|a?kb|(k?0),令f(k)?a?b.
⑴求f(k)?a?b（用k表示）； ⑵当k?0时,f(k)?x2?2tx?12??对任意的t?[?1,1]恒成立，求实数x的取值范围。
参考答案 1. D
32?13?sin?cos?,sin2??1,2??90,??45。
00????????????2.D ∵PA?PB?PB?PC?PC?PA，则由PA?PB?PB?PC得 PB?(PC?PA)?0,即
????????PB?AC=0,∴PB⊥AC，同理PA?BC,PC?AB，即P是垂心。
3．A f(x)的图象是一直线，则f(x)是x的一次式.而f(x)展开后有x的二次-x2a·b，故-a·b=0?a⊥b。 4．C 设P(x,y)，由
????????AB?2AP????????????????????????得AB?2AP，或AB??2AP，AB?(2,2),AP?(x?2,y)，
P(1,?1)即(2,2)?2(x?2,y),x?3,y?1,P(3,1)；(2,2)??2(x?2,y),x?1,y??1,5．D 提示：由正弦定理得sinC=
32。
,∴C=600或1200，A=300或900，∴S=
34或
32。
6．B 对于①，a·b=|a|·|b|cosθ，|a·b|=|a|·|b|·|cosθ|≥|a|·|b|·cosθ=a·b，因
此①正确；对于②，显然是错误的；对于③，显然正确；对于④，显然是错误的. 综上所述，其中错误的共有2个.
7．B 过E作EG∥BA交AF于G，EG=
32CF=
32DF，AH=
45AF。
8．A a:b:c=3:2:4 ,a+b+c=9,∴a=3,b=2,c=4,用余弦定理即得。
9．B 因为 , 所以 ，整理得 从而 。
,1?)?m(1,?2)?(1?,??2)?n(2?,?3)?(?1?m?,1??2m)?(1?2n?,??2?3n)， 10．B 由(?1???1?m?1?2n?m??12???∴?. ??1?2m??2?3n?n??7 金太阳新课标资源网
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11．D 取特殊情况，不妨a1?(cos30??,?sin30?)?,?a2?(cos150??,?sin150?)，
a3?(cos270??,?sin270?)显然有a1?a2?a3?0，易证得b1?b2?b3?0。
????1????????2????122515212
12．A AD=(AB+AC)=3p－q,∴|AD|=9p+q－3p·q=.∴|AD|=。
22442?x?y?1125125
13．( , )或(－ ,－ ) 设单位向量坐标为?x,y?，则?，解之得坐标为
13131313
?5x?12y22(
125125
, )或(－ ,－ )。 13131313
5514．2010 由tanc=2，解得sinC=,再由正弦定理即可解得c=2010.
2(a?b)?a→15．-b 如图：设OB1?c，则由对称性可 得：b?c??a，
2|a|B
A
两边同时点乘a，则b?ca??a，又a?b?a?c，所以????22a?ba2，
B
所以c?2a?ba2?a?b。
16．(3,-1) y?2x2?4x?5y?3?2(x?1)2,∴a=(-1,-3),设
??x0?3y0?0?x0?3??. ?x?y?4y??10?0?0b=(x0,y0),则
17. 解：由题意可得|a|2?16，|b|?4，a?b??4 （1）(a?2b)?(a?b)?a?a?b?2b?12； （2）|2a?b|?(2a?b)22?4a?4a?b?b22?221 ?32（3）设a与a?b的夹角为?，则cos??a?(a?b)|a||a?b|，又0????180?，所以??30?，a与a?b的夹角为30?。
????18．解：ka?b?k(1,2)?(?3,2)?(k?3,2k?2)，a?3b?(1,2)?3(?3,2)?(10,?4)
????（1）(ka?b)?(a?3b)，
????得(ka?b)?(a?3b)?10(k?3)?4(2k?2)?2k?38?0,k?19；
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高中数学必修4第二章 平面向量单元检测
