3. 设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数，求解：设F(x,y,z)?x?4y?3z?2sin(x?2y?3z)………………1分
?z?z ?。
?x?yFx?1?2cos(x?2y?3z),Fy??4?4cos(x?2y?3z),Fz?3?6cos(x?2y?3z)………………4分
FF?z2cos(x?2y?3z)?1?z4cos(x?2y?3z)?4……6分 ??x?,??y??xFz3[1?2cos(x?2y?3z)]?yFz3[1?2cos(x?2y?3z)]所以
?z?z??1………………7分 ?x?y
4. 求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy，其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0)，逆时针
L方向。
解：圆的参数方程为：x?acost,?y?asint(0?t???2)……………1分
?(x?y)dx?(x?y)dy??L20(acost?asint)dacost??2(acost?asint)dasint……3分
0??a2?20(cos2t?sin2t)dt………………4分
?a22?[sin2t?cos2t]0………………6分 2??a2………………7分
（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）
5. 计算??y51?x2?y6dxdy，其中D是由y?3x，x??1及y?1所围成的区域。
D解：D?{(x,y)|3x?y?1,?1?x?1}………………1分
526526y1?x?ydxdy?dxy1?x?ydy………………2分 3????D?1x1131212621????[(1?x?y)]3xdx………………4分
63?111???(|x|3?1)dx………………5分
9?121???(x3?1)dx………………6分
901?………………7分 6
(?1)nn1?6. 判断级数?的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。 n?1nn?1?(?1)nn1n1解：………………1分 ???n?1n?1nn:1(n??)………………3分 n所以级数发散。………………4分 又
(?1)nn111??(?1)n(1?)………………5分 n?1n?1nn(?1)n(?1)n?1………………6分 ??n(n?1)n?(?1)n(?1)n显然，交错级数?，?都收敛，所以原级数收敛。因此是条件
nn?1n?1(n?1)n?收敛。………………7分
7. 将函数
1展开成x的幂级数，并求其成立的区间。
(1?x)(2?x)解：
111??………………2分
(1?x)(2?x)1?x2?x?1??xn,|x|?1………………3分 而
1?xn?011xx?[1??()2?L](|x|?2)………………4分 2?x222所以
11xx?1?x?x2?L?[1??()2?L]………………5分
(1?x)(2?x)222??(1?n?0?1n)x………………6分 n?12成立范围|x|?1………………7分
四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1. 抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上任一点P的坐标为P(x,y,z)，P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为x2?y2?z2，………………1分 构造拉格朗日函数
F?x2?y2?z2??(x2?y2?z)??(x?y?z?1)………………2分
?Fx?2x?2x????0?F?2y?2y????0?y?F?2z?????0………………4分 ?z?F?x2?y2?z?0????F??x?y?z?1?01解得x?(?1?3)………………5分
213131313?(??,??,2?3),P?(??,??,2?3) 得两个驻点为P1222222222…………………6分
所以最短距离为9?53，最短距离为9?53………………7分
(?1)nnxn 2. 求幂级数?的和函数。
(n?1)!n?1??xn(?1)nxn?x解：因为e??，所以e??，………………1分
n!n!n?0n?0x??(?1)nnxn(?1)n(n?1?1)xnS(x)????………………2分
(n?1)!n?0(n?1)!n?0?(?1)nxn?(?1)nxn????………………3分
n!(n?1)!n?0n?0?(?1)nxn?e?x………………4分 ?n!n?0?(?1)nxn1?(?1)nxn?11?(?1)n?1xn?1??????(n?1)!x(n?1)!xn?0(n?1)!n?0n?0?1?(?1)nxn1??(?1)nxn?????????1? (x?0)…………5分
xn?1n!x?n?0n!?11?(?1)nxn11?x?????exxn?0n!xx所以
1S(x)?e?x?(1?e?x)(x?0)
x1故S(x)?e?x?(1?e?x)(x?0)……6分
x当x?0时，S(x)?0。………7分
另解：
(?1)nnxn1?(?1)nnxn?11??(?1)nxn?当x?0时，??????xdx? ?0(n?1)!x(n?1)!x(n?1)!n?1n?1n?1???n?1n?11x??(?1)nxn?1x????(?1)x???????dx??x??dx ?????00xn?1?(n?1)!?x?n?1?(n?1)!????1x?(?1)nxn???x?dx
x0n?0n!???1x?xxedx?0xx1?xxdex?0
1xe?x?e?x?1? ?x11?e?x?e?x?
xx?当x?0时，S(x)?0。
3. 设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)?1，g(0)?0，L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D，已知
??xydx?[yf(x)?g(x)]dy???yg(x)d?，
LD求f(x)和g(x)。 解：由格林公式得
??[yf'(x)?g'(x)?x]dxdy???yg(x)dxdy………………2分
DD即??[yf'(x)?g'(x)?x?yg(x)]dxdy?0………………3分
D由于区域的任意性，yf'(x)?g'(x)?x?yg(x)?0………………4分 又由于y的任意性，有f'(x)?g(x)，g'(x)?x……………5分
x2又由f(0)?1，g(0)?0得， g(x)?………………6分
2x3所以f(x)??1………………7分
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2017高等数学下试题及参考答案
