1
所以4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4.
2
利用正、余弦定理解三角形
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－2asin C＝bsin
B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
【解】 (1)由正弦定理得a＋c－2ac＝b. 由余弦定理得b＝a＋c－2accos B. 故cos B＝
2
，所以B＝45°. 2
2＋6
. 4
2
2
2
2
2
2
(2)因为sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°·sin 45°＝故a＝
bsin A＝1＋3. sin B又C＝180°－45°－75°＝60°， 所以c＝
bsin Csin 60°
＝2×＝6. sin Bsin 45°
解三角形的一般方法
(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．
(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为
a2＋b2－c2
4A.C.
，则C＝( )
B.D.π
3π 6
π 2π 4
- 6 -
1a＋b－ca＋b－c解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知absin C＝，所以sin C＝
242abπ
＝cos C，所以在△ABC中，C＝.
4
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)＝sinA－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若2a＋b＝2c，求sin C.
解：(1)由已知得sinB＋sinC－sinA＝sin Bsin C，故由正弦定理得b＋c－a＝bc.
2
2
2
2
2
2
2
222222
2
b2＋c2－a21由余弦定理得cos A＝＝. 2bc2
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋
312
cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－. 222因为0°＜C＜120°， 所以sin(C＋60°)＝
2
，故 2
62
sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60° ＝
判断三角形的形状
在△ABC中，若已知bsinC＋csinB＝2bccos Bcos C，试判断三角形的形状． 【解】 由正弦定理的推论，得＝＝＝2R，
sin Asin Bsin C则已知条件转化为
4RsinBsinC＋4RsinCsinB ＝8Rsin Bsin Ccos Bcos C. 因为sin Bsin C≠0，
所以sin Bsin C＝cos Bcos C， 所以cos(B＋C)＝0.
因为0° - 7 - 22 2 2 2 2 22 2 2 2 6＋2 . 4 abc所以△ABC为直角三角形． 判定三角形形状的两种途径 (1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a＝2Rsin A，a＋b－c＝2abcos C等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内π 角关系，如sin A＝sin B?A＝B，sin(A－B)＝0?A＝B，sin 2A＝sin 2B?A＝B或A＋B＝ 2等． 2 2 2 ab2＋c2－a2 (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数 2R2bc恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断． (2019·福建省闽侯二中五校教学联合体高二上学期期中)在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则该三角形的形状是( ) A．等腰三角形 C．直角三角形 B．等边三角形 D．等腰直角三角形 sin A解析：选A.因为lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，所以＝2， cos B·sin Cacsin Aa由正弦定理可得＝，所以＝， sin Asin Csin Ccaa2＋c2－b2a所以cos B＝，所以cos B＝＝， 2c2ac2c整理得c＝b，c＝b，所以△ABC的形状是等腰三角形，故选A. 正、余弦定理的实际应用 已知海岛A周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？ 【解】 如图所示，在△ABC中， 依题意得BC＝202海里， ∠ABC＝90°－75°＝15°， ∠BAC＝60°－∠ABC＝45°. 由正弦定理，得 ＝， sin 15°sin 45° 2 2 ACBC202sin 15° 所以AC＝＝10(6－2)(海里)． sin 45°过点A作AD⊥BC. - 8 - 故A到航线的距离为AD＝ACsin 60° ＝10(6－2)×3 ＝(152－56)(海里)． 2 因为152－56>8， 所以货轮无触礁危险． 正、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图． (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等． (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形． (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累． (5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位． 1．某运动会上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列上的第一排B处和最后一排C处测得旗杆顶部P处的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106 m(如图所示)，则旗杆的高度为( ) A．10 m C．103 m B．30 m D．106 m 解析：选B.依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，所以∠CPB＝180°－45°－105°＝30°.在△PBC中，由正弦定理可得BP＝(m)，所以在Rt△BOP中，OP＝PB·sin∠PBO＝203× ·sin∠PCB＝203 sin∠CPBCB3 ＝30(m)，即旗杆的高度为30 m. 2 2．如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛． (1)求A，C两岛之间的直线距离； (2)求∠BAC的正弦值． 解：(1)在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°. - 9 - 根据余弦定理，得AC＝50＋30－2×50×30cos 120°＝4 900， 所以AC＝70.故A，C两岛之间的直线距离是70海里． (2)在△ABC中，由正弦定理， 得＝ ＝，所以sin∠BAC＝ sin∠BACsin∠ABC30sin 120°33 ＝. 7014 222 BCACBCsin∠ABC AC33 故∠BAC的正弦值是. 14 →→→→→ 1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝( ) A．－3 C．2 B．－2 D．3 →→→→22 解析：选C.因为BC＝AC－AB＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，|BC|＝1，所以1＋（t－3）→→→ ＝1，所以t＝3，所以BC＝(1，0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2. 2．已知e1，e2是单位向量，m＝e1＋2e2，n＝5e1－4e2，若m⊥n，则e1与e2的夹角为( ) A.C.π 42π 3 B.D.π 33π 4 2 解析：选B.因为m⊥n，|e1|＝|e2|＝1，所以m·n＝(e1＋2e2)·(5e1－4e2)＝5e1＋6e1·e2 1e1·e212 －8e2＝－3＋6e1·e2＝0.所以e1·e2＝.设e1与e2的夹角为θ，则cos θ＝＝.因为 2|e1||e2|2π θ∈[0，π]，所以θ＝. 3 π 3．在△ABC中，A＝，BC＝6，AB＝26，则C＝( ) 3A.C. π3π或 44π 4 B.D.π5π或 663π 4 π 26×sin 3BCABABsin A2 解析：选C. 由正弦定理＝，得sin C＝＝＝.又BC＝ sin Asin CBC62π 6>AB＝26，所以A>C，所以C＝，故选C. 4 - 10 -
高中数学第六章平面向量及其应用章末复习提升课学案新人教A版必修第二册
