课后限时集训(二十一)
(建议用时：60分钟) A组 基础达标
一、选择题
π?22?1．已知sin 2α＝，则cos?α＋?等于( ) 4?3?1112
A． B. C. D. 6323π??1＋cos 2?α＋?4?π??2?A [因为cos?α＋?＝
4?2?
π?2?1－1＋cos?2α＋?2?1－sin 2α31?
＝＝＝＝，故选A．]
22261－cos α2．化简：＝( )
1＋cos αA．sinα C．sin
22
B．tanα D．tan
2sin
2
2
2
α2
α2
α21－cos α2αD [＝＝tan，故选D.]
1＋cos α22α2cos
2
3．函数f(x)＝3sin cos ＋4cos(x∈R)的最大值等于( )
222A．5 5
C． 2
9B． 2D．2
99
＋4＋2＝，故42
xx2
x31＋cos x3
B [由题意知f(x)＝sin x＋4×＝sin x＋2cos x＋2≤
222选B.]
sin 10°
4．(2019·武汉模拟)＝( )
1－3tan 10°1A． 4C．
3 2
1B． 2D．1
sin 10°cos 10°sin 10°cos 10°sin 20°1
A [原式＝＝＝＝.]
4sin 20°4cos 10°－3sin 10°2sin30°－10°41
5．在△ABC中，若cos A＝，tan(A－B)＝－，则tan B＝( )
521
A． 2C．2
1
B． 3D．3
433
C [由cos A＝得sin A＝，所以tan A＝.
554
3?1?
－?－?4?2?tan A－tanA－B从而tan B＝tan[A－(A－B)]＝＝＝2.]
1＋tan AtanA－B31
1－×42二、填空题
2sinπ－α＋sin 2α6．化简：＝________.
2α2cos22sin α＋2sin αcos α2sin α [原式＝＝2sin α]
1＋cos α7．(2019·青岛模拟)函数y＝3sin 2x＋cos 2x的最小正周期为________． π [y＝3sin 2x＋cos 2x＝2?π.]
π18．(2019·哈尔滨模拟)已知0＜θ＜π，tanθ＋＝，那么sin θ＋cos θ＝________.
47π?tan θ＋1113sin θ3?－ [由tan?θ＋?＝＝，解得tan θ＝－，即＝－，∴cos θ4?1－tan θ754cos θ4?4
＝－sin θ，
3
∴sinθ＋cosθ＝sinθ＋
2
2
2
π?2π1?3??
sin 2x＋cos 2x?＝2sin?2x＋6?，∴周期T＝＝2??2?2?
162252
sinθ＝sinθ＝1. 99
34
∵0＜θ＜π，∴sin θ＝，∴cos θ＝－，
551
∴sin θ＋cos θ＝－.]
5三、解答题
9．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它4??3
的终边过点P?－，－?.
5??5
(1)求sin(α＋π)．
5
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
134?4?3
[解] (1)由角α的终边过点P?－，－?得sin α＝－，
5?5?54
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
5
4?3?3
(2)由角α的终边过点P?－，－?得cos α＝－，
5?5?5512
由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.
1313
由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 5616
所以cosβ＝－或cos β＝.
6565
45
10．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
35(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)．
4sin α[解] (1)因为tan α＝，tan α＝，
3cos α4
所以sin α＝cos α.
3
9222
因为sinα＋cosα＝1，所以cosα＝，
2572
因此，cos 2α＝2cosα－1＝－.
25
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－
5252
，所以sin(α＋β)＝1－cosα＋β＝， 55
因此tan (α＋β)＝－2.
42tan α24
因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－， 2
31－tan α7
tan 2 α－tan α＋β因此tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝ 1＋tan 2αtan α＋β2＝－. 11
B组 能力提升
1＋sin θ＋cos θ1
1．(2019·南昌模拟)已知1＋sin θ－cos θ＝2，则tan θ＝( )
A．43 B.3344 C．－4 D．－3 D [因为1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ
2sinθθ2
θ＝
2cos2＋2cos
22sin
θθ2
2
cos2＋2sin
θ
2
2cosθ?
θθ?
＝2??sin2＋cos2??2sinθ?θ?＝1θ＝1
2，
2??cosθ2＋sin2??tan
22tan
θ所以tanθ2＝2，于是tan θ＝2＝－4
，
1－tan
2θ32故选D.]
2．(2019·郴州模拟)已知α∈???0，π4???，sin??π?α＋4??4?＝5，则tan α＝________.
17 [因为πππ?π?44＜α＋4＜2，sin??α＋4??＝5， 所以cos???
α＋π4???＝
1－??4?5??23
?＝5
， 所以tan???
α＋π4???＝43， 4
所以tan α＝tan???π?π?3－11???
α＋4??－4??＝1＋4＝7.]
3
×13．已知方程x2
＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且∈??ππ?
－2
，2???，则α＋β＝________.
－
3π
4
[由题意知tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β－3a1－tan αtan β＝1－3a＋1
＝1，
又α，β∈???－ππ2，2???
，tan α＋tan β＝－3a＜0，tan αtan β＝3a＋1＞0. ，
αβ?π?所以tan α＜0，tan β＜0，所以α，β∈?－，0?， ?2?
3
所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－π.]
4
?π?4．已知函数f(x)＝2sin xsin?x＋?.
6??
(1)求函数f(x)的最小正周期和递增区间；
?π?(2)当x∈?0，?时，求函数f(x)的值域．
2??
[解] (1)f(x)＝2sin x?＋3
. 2
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π. πππ
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
232π5π
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
1212
5π?π?所以函数f(x)的递增区间是?－＋kπ，＋kπ?，k∈Z.
12?12?π?π?π2π??0，(2)当x∈??时，2x－3∈?－3，3?，
2????π??3??sin?2x－?∈?－，1?， 3??2??
π?1－cos 2x11?3??＋sin 2x＝sin?2x－?sin x＋cos x?＝3×3?22?2?2?
f(x)∈?0，1＋??3??. 2?
故f(x)的值域为?0，1＋
??3??. 2?
2020版高考数学一轮复习课后限时集训21三角恒等变换文含解析北师大版
