2020-2021中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题及答案解析
一、圆的综合
1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°． （1）求∠AOC的度数；
（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．
【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）． 【解析】 【分析】
（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．
（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系． （3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解． 【详解】
（1）∵OA=OC，∠OAC=60°， ∴△OAC是等边三角形， 故∠AOC=60°．
（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；
1OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°， 2而OC是⊙O的半径，
故PC与⊙O的位置关系是相切． （3）如图；有三种情况：
∴AC=
①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣23）； 劣弧MA的长为：
60??44??； 1803②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣23）； 劣弧MA的长为：
120??48??； 1803③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，23）； 优弧MA的长为：
240??416??； 1803300??420??； 18034?8?16?20?,,,对应的M点坐3333④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，23）； 优弧MA的长为：
综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为
标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）． 【点睛】
本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．
2．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F． （1）求证：AE=BE； （2）求证：FE是⊙O的切线；
（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）. 【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示： ∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB； 又∵AC=BC，∴AE=BE．
（2）证明：连接OE，如图2所示：
∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6． 又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线． （3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC?FB．
设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．
∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴
，即
，解得：CG= ．
点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．
3．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．
（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上； （2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；
（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积． 【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)【解析】（1）解：连接AM、BM，
63. 8
∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点 ∴AM＝BM＝PM=QM=
1 PQ， 2∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。 （2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，
∵AM＝BM
∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5 ∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5 则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9， 当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，
HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x
由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝3 2 ∴点Q的坐标为（32 ，9）
（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5） 当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）
93 －3＝ ， Q1Q2＝6－4＝2
22线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1
∴M1M2＝
其面积为：【解析】 【分析】
1363×( ＋2)×4.5＝.
822根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接解答此题. 【详解】
（1）解：连接AM、BM，
∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点 ∴AM＝BM＝PM=QM=
PQ，
∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。 （2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，
2020-2021中考数学易错题专题训练-圆的综合练习题及答案解析
