∴△AOP是等边三角形， ∴∠A＝∠AOP＝60°， ∴∠BOP＝120°； 故答案为：120°； ②∵PC是⊙O的切线， ∴OP⊥PC，∠OPC＝90°， ∵PC∥AB， ∴∠BOP＝90°， ∵OP＝OB，
∴△OBP是等腰直角三角形， ∴∠ABP＝∠OPB＝45°， 故答案为：45°．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、切线的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和平行四边形的判定是解题的关键．
19．（9分）某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，
≈1.41）
【分析】延长CA交BE于点D，得CD⊥BE，设AD＝x，得BD＝x米，CD＝（20+x）米，根据
＝tan∠DCB列方程求出x的值即可得．
【解答】解：如图，延长CA交BE于点D，
则CD⊥BE，
由题意知，∠DAB＝45°，∠DCB＝33°， 设AD＝x米，
则BD＝x米，CD＝（20+x）米， 在Rt△CDB中，∴
≈0.65，
＝tan∠DCB，
解得x≈37，
答：这段河的宽约为37米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（9分）如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．
【分析】（1）根据待定系数法，将点的坐标分别代入两个函数的表达式中求出待定系数，可得答案；
（2）利用△AOP的面积减去△AOQ的面积．
【解答】解：（1）反比例函数y＝（ m≠0）的图象经过点（1，4）， ∴
，解得m＝4，故反比例函数的表达式为
，
一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（﹣4，n）， ∴
，解得
，
∴一次函数的表达式y＝﹣x﹣5； （2）由
，解得
或
，
∴点P（﹣1，﹣4），
在一次函数y＝﹣x﹣5中，令y＝0，得﹣x﹣5＝0，解得x＝﹣5，故点A（﹣5，0）， S△OPQ＝S△OPA﹣S△OAQ＝
＝7.5．
【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标问题，（1）用待定系数法求出函数表达式是解题的关键，（2）转化思想是解题关键，将三角形的面积转化成两个三角形的面积的差．
21．（10分）“京东电器”准备购进A、B两种品牌台灯，其中A每盏进价比B每盏进价贵30元，A售价120元，B售价80元已知用1040元购进的A数量与用650元购进B的数量相同．
（1）求A、B的进价；
（2）超市打算购进A、B台灯共100盏，要求A、B的总利润不得少于3400元，不得多于3550元，问有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，该超市决定对A台灯进行降价促销，A台灯每盏降价m（8＜m＜15），B的售价不变，超市如何进货获利最大？
【分析】（1）设 A 品牌台灯进价为 x 元/盏，则 B 品牌台灯进价为（x﹣30）元/盏，根据题意，列出方程即可
（2）设超市购进 A 品牌台灯 a盏，则购进 B 品牌台灯有（100﹣a）盏，根据题意得：3400≤（120﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）≤3550，求即可
（3）令超市销售台灯所获总利润记作 w，根据题意，有w＝（120﹣m﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）＝（10﹣m）a+3000，分情况讨论即可．
【解答】解：
（1）设 A 品牌台灯进价为 x 元/盏，则 B 品牌台灯进价为（x﹣30）元/盏， 根据题意得
＝
，解得 x＝80，
经检验 x＝80 是原分式方程的解． ∴x﹣30＝80﹣30＝50（元/盏），
答：A、B 两种品牌台灯的进价分别是 80 元/盏，50 元/盏
（2）设超市购进 A 品牌台灯 a盏，则购进 B 品牌台灯有（100﹣a）盏， 根据题意得：3400≤（120﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）≤3550 解得，40≤a≤55． ∵a 为整数，
∴该超市有 16 种进货方案
（3）令超市销售台灯所获总利润记作 w，根据题意，有 w＝（120﹣m﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）＝（10﹣m）a+3000 ∵8＜m＜15
∴①当 8＜m＜10 时，即 10﹣m＞0，w 随 a 的增大而增大， 故当 a＝55 时，所获总利润 w 最大， 即 A 品牌台灯 55 盏、B 品牌台灯 45 盏； ②当 m＝10 时，w＝3000；
故当 A 品牌台灯数量满足 40≤a≤55时，利润均为 3000元； ③当 10＜m＜15 时，即 10﹣m＜0，w 随 a 的增大而减小， 故当 a＝40 时，所获总利润 w 最大， 即 A 品牌台灯 40 盏、B 品牌台灯 60 盏
【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，关键是掌握销售利润公式：利润＝（售价﹣成本）×数量． 22．（10分）（1）问题发现
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE． 如图（1），当α＝90°时，试猜想：
①AF与BE的数量关系是 AF＝BE ；②∠ABE＝ 90° ；
（2）拓展探究
如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由． （3）解决问题
如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．
【分析】（1）只要证明△ADF≌△EDB，可得AF＝BE，再利用“8字型”字母∠OBE＝∠ADO＝90°即可解决问题；
（2）结论：AF＝BF，∠ABE＝a．只要证明△ADF≌△EDB，即可解决问题； （3）分两种情形分别求解即可；
【解答】解（1）如图1中，设AB交DE于O．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝45°， ∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝90°， ∴∠DFB＝∠DBF＝45°， ∴DF＝DB，
∵∠ADE＝∠FDB＝90°， ∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE， ∴△ADF≌△EDB，
2019-2020年南宁市初三中考数学一模模拟试卷【含答案】
