充分条件与必要条件·典型例题
能力素质
例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的
[ ]
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换．
解 ∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5．
因此选A．
说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是
[ ]
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价．
解 对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．pq但qp，p是q的充分非必要条件； 对C．pq且qp，p是q的必要非充分条件；
对D．p?q且q?p，即p?q，p是q的充要条件．选D．
说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．
例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的
[ ]
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 通过B、C作为桥梁联系A、D． 解 ∵A是B的充分条件，∴AB① ∵D是C成立的必要条件，∴CD②
∵C是B成立的充要条件，∴C?B③
由①③得AC④ 由②④得AD．
∴D是A成立的必要条件．选B．
说明：要注意利用推出符号的传递性．
例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的
[ ]
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定．
解 解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．
∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A．
说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B．
当且仅当A?B时，甲为乙的充分条件；当且仅当A?B时，甲为乙的必要条件；
当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件． 例5 设A、B、C三个集合，为使A
(B∪C)，条件AB是
[ ]A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图．
∴A
(B∪C)．
但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时， 显然A
(B∪C)，但A
B不成立， 综上所述：“AB”“A
(B∪C)”，而
“A(B∪C)”
“A
B”．
即“A
B”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要)．选A．
说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件：
(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|； (3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根； (4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1． 其中p是q的充要条件的有
[ ]
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
分析 使用方程理论和不等式性质． 解 (1)p是q的必要条件 (2)p是q充要条件 (3)p是q的充分条件
(4)p是q的必要条件．选A．
说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零．
?x1＞3?x1?x2＞6例7?是?x＞3?2?x1x2＞9的条件．
分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．
解 x1＞3且x2＞3?x1＋x2＞6且x1x2＞9，但当取x1＝10，x2＝2时，?x1?x2＞6?x1＞3成立，而?不成立(x2＝2与x2＞3矛盾)，所以填“充分不 ??x1x2＞9?x2＞3必要”．?x1＞3?x1－3＞0 说明：? ???x2＞3?x2－3＞0?(x1－3)＋(x2－3)＞0???(x－3)(x－3)＞02?1
?x1＋x2＞6这一等价变形方法有时会用得上．?xx－3(x＋x)＋9＞012?12
点击思维
c＞d”和“a＜b
例8 已知真命题“a≥be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．
分析 ∵a≥bc＞d(原命题)， ∴c≤da＜b(逆否命题)． 而a＜be≤f，
∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件． 答 填写“充分”．
说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．
例9 ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是
[ ]
A．0＜a≤1 B．a＜1 C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0
分析 此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝
1－．故排除A、B、D选C． 21解 常规方法：当a＝0时，x＝－．
2当a≠0时
1．a＞0，则ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根???21－a＜2?0＜a≤1．2．a＜0，则ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根??2＞21－a＞2?1－a＞1?a＜0．综上所述a≤1．
?2?4?4a＜02a
?2?4?4a＜02a
即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．
说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．
例10 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件
分析 画出关系图1－21，观察求解．
解 s是q的充要条件；(srq，qs) r是q的充要条件；(rq，qsr) p是q的必要条件；(qsrp)
说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系． 例11 关于x的不等式
(a?1)2(a?1)2|x－|≤与x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0的解集依次为A 22与B，问“A?B”是“1≤a≤3或a＝－1”的充要条件吗？分析 化简A和B，结合数轴，构造不等式(组)，求出a． 解 A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}
1当2≤3a＋1即a≥时，
3B＝{x|2≤x≤3a＋1}．
?2a≥2A?B??2?1≤a≤3?a+1≤3a+1
1当2＞3a＋1即a＜时，3B＝{x|3a＋1≤x≤2}
?2a≥3a+1A?B??2?a＝－1．a+1≤2?综上所述：A?B?a＝－1或1≤a≤3．∴“A?B”是“1≤a≤3或a＝－1”的充要条件．
说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．
学科渗透
例12 x＞y，xy＞0是11＜的必要条件还是充分条件，还是充 xy要条件
分析 将充要条件和不等式同解变形相联系．
解 1．当1111y?x＜时，可得－＜0即＜0 xyxyxy?y－x＞0?y－x＜0则?或??xy＜0?xy＞0，
?x＜y?x＞y 即?或??xy＜0?xy＞0，?x＜y11故＜不能推得x＞y且xy＞0(有可能得到?)，即x＞y且xyxyxy＜0?11＞0并非＜的必要条件．xy?x＞y?x＞y??2．当x＞y且xy＞0则分成两种情况讨论：?x＞0或?x＜0??y＞0??y＜011 不论哪一种情况均可化为＜．xy11∴x＞y且xy＞0是＜的充分条件．xy说明：分类讨论要做到不重不漏．
例13 设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两
根α，β均大于1的什么条件
分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需
要搞清楚条件p与结论q分别指什么．然后再验证是p?q还是q?p还是p?q．
高一数学充分条件与必要条件测试题
