第二章 作业题解：
2.1掷一颗匀称的骰子两次
以X表示前后两次出现的点数之和 ，求X的概率分布，并验证
其满足(222)式. 解:
并且，P(X 2) P(X
1
3) P(X 11)三；
12)
； P(X
36 36 P(X 4) P(X
4
3
5) P(X 9)
10)
； P(X P(X 5 6 36
P(X 6)
8) 36 ； P(X 7) 36
即 P(X k)
6 |7 k|
(k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)
36
2.2设离散型随机变量的概率分布为 P{X k} ae k
,k 1,2
，试确定常数 a.
解：根据 P(X
k) 1，得
ae
k
1。
k 0 k 0
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格知X的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1。2.3甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的概率:
(1)
两人投中的次数相同；(2)甲比乙投中的次数多.
解：分别用 Ai, Bi(i 1,2)表示甲乙第一、二次投中，则
P(AJ P(A2) 0.7,P(A) P(A2) 0.3,P(BJ P(B2) 0.4,P(BJ P(B2) 0.6,
两人两次都未投中的概率为： P(A1A2瓦瓦)0.3 0.3 0.6 0.6 0.0324，
两人各投中一次的概率为：
P(A1A2B1 B2) P(A1 A2 B2B1) P(A2AB1B2)P(A1A2 B2B1)
4 0.7 0.3 0.4 0.6 两人各投中两次的概率为：
P(A^A2B1B2) 0.0784。所以：
0.2016
(1) 两人投中次数相同的概率为
0.0324 0.2016 0.0784
0.3124
(2) 甲比乙投中的次数多的概率为：
P (A1A2 B1B2) P( A1A2 B2 Bi) P( A1A2 B1B2) P (A1A2 Bi B2) P( A1A2 B1B2) 2 0.49 0.4 0.6 0.49 0.36 2.4设离散型随机变量
2 0.21 0.36
0.5628
X的概率分布为 P{X
丄k k} 15 1,2,3,4,5，求
(1) P(1 X 3)
(2) P(0.5 X 2.5)
1
解：(1)P(1 X 3)
2 3
2
15 15 15 5
(2) P(0.5 X
2.5设离散型随机变量
2.5) P(X 1) P(X 2)
P{X
k}
l,k
k2
1 2 1 15 15 5
1,2,3,,，求
X的概率分布为
(2)P{X
(1) P{X 2,4,6 };
解：(1)P{X
3}
2,4,6 3} 1
111 11 1.1 22 24 26 P{ X 1} P{ X 2}-
0.4 ,当A发生3次或3次以上时，指示灯发出
;(2)进行5次独立试验
,指示灯发出信
22 1
22 24
3
(2)P{X
2.6设事件A在每次试验中发生的概率均为
信号，求下列事件的概率：
(1)进行4次独立试验，指示灯发出信号
解：(1)P(X 3) P(X 3) P(X 4)
C：0.43 0.6 0.44
(2) P(X 3) P(X 3)
0.1792
P(X 4) P(X 5) Cs0.44 0.6 0.45
0.31744 .
C；0.43 0.62
2.7某城市在长度为t (单位：小时)的时间间隔内发生火灾的次数 X服从参数为0.5t的泊
松分布，且与时间间隔的起点无关，求下列事件的概率：
(1) 某天中午12时至下午15时未发生火灾； (2) 某天中午12时至下午16时至少发生两次火灾.
k
1 5
解：(1) P(X k) e ，由题意， 0.5 3
1.5,k 0,所求事件的概率为 e .
k!
0
⑵ P(X 2) 1
e 0!
1!
e
e ,由题意, 0.5 4 1.5，所求事件
23e. 的概率为1
2.8为保证设备的正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员 ?现有同类设备180台，且
各台设备工作相互独立，任一时刻发生故障的概率都是
0.99?
0.01,假设一台设备的故障由一人进
行修理，问至少应配备多少名修理人员，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不 小于
解：设应配备 m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为
X，则X ~ B(180，0.01)。
依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于 0.99,即P(X m) 0.99，也即
P(X m 1) 0.01
因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为 180 0.01 查泊松分布表，得，当 m+1=7时上式成立，得 m=6。 故应至少配备6名设备维修人员。
1.8的泊松分布。
2.9某种元件的寿命 X(单位：小时)的概率密度函数为：
1000
f(x)
2
“CC
, x 1000 x
0, x p1000
求5个兀件在使用
1500小时后，恰有2个元件失效的概率。
解：一个元件使用 1500小时失效的概率为
1500
P(1000 X 1500)
1000 dx
1500
100C X 1000
1000
设5个元件使用1500小时失效的元件数为
Y，则Y ~ B(5,-)。所求的概率为
1 2 2、3 80
P(Y 2) C；q)2 )
3 243
2
3
2.10设某地区每天的用电量 X(单位：百万千瓦？时)是一连续型随机变量，概率密度函数为:
f(x)
12x(1 x)2, 0p xp 1, 0,其他
.若每天的供
？
假设该地区每天的供电量仅有 80万千瓦？时，求该地区每天供电量不足的概率 电量上升到90万千瓦？时，每天供电量不足的概率是多少
解：求每天的供电量仅有 80万千瓦？时，该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区 用电量X超过80万千瓦？时(亦即X 0.8百万千瓦？时)的概率：
0.8 0.8 2
P(X f 0.8)=1-P(X 0.8)=1- f(x)dx 1 o 12x(1 x) dx
1 (6x2 8x3 3x4) 0.8 0.0272
若每天的供电量上升到 90万千瓦？时，每天供电量不足的概率为：
0.9 0.9
2
2
P(Xf 0.9) = 1 -P(X 0.9)=1 - f(x)dx 1 o 12x(1 x)dx
1 (6x2 8x3 3x4) 0.9 0.0037
2.11设随机变量K~U( 2,4),求方程x 2Kx 2K
2
3 0有实根的概率 4K2 8K 12
4( K 3)(K
1) 0 ,
解：方程x 2Kx 2K 3 显然，当K 3 K
2
0有实根，亦即
1时，方程x2 2Kx 2K
1
3 0有实根；又由于K ~U ( 2,4),所
求概率为:
1 ( 2) 4 3 4 ( 2)3。
2.12某型号的飞机雷达发射管的寿命 X(单位：小时)服从参数为0.005的指数分布，求下列
事件的概率：
(1)发射管寿命不超过100小时； ⑵发射管的寿命超过300小时；
(3) 一只发射管的寿命不超过 100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间.
解：(1)发射管寿命不超过100小时的概率：
xz A r\\rw P(X 100)
100
c ccl 0.005x」
0.005x
100 0.5e =0.39 1
0
0.005e dx e
0
(2)发射管的寿命超过 300小时的概率：
P(X 300)
1 P(x 300) 1 (1 e )
1.5
1.5
e
0.223
⑶一只发射管的寿命不超过
0.5
0.5
1.5
100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间
(1 e )(e e ) 0.15。
2.13设每人每次打电话的时间(单位：分钟)服从参数为0.5的指数分布.求282人次所打 的电话中，
有两次或两次以上超过10分钟的概率.
解：设每人每次打电话的时间为 X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过 10分钟的概率为
10
P(X 10)
又设282人中打电话超过 因为n=282较大,
0.5e 0.5xdx
0.5 x
10
10分钟的人数为 Y，则Y~B(282,e)。
5
p较小，所以Y近似服从参数为
282 e
5
1.9的泊松分布。
所求的概率为
P(Y 2)
1 P(Y 1 e 1.9
0) P(Y 1)
1.9e 1.9 1 2.9e 1.9 0.56625
概率论第三版第2章答案详解
