考点01 集合与常用逻辑用语
1．（2020·浙江椒江台州一中高三期中）设a、命题p:a?b，命题q:aa?bb，则p是q的（ ） b?R，A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C
【解析】构造函数f?x??xx，该函数的定义域为R，且f??x???x?x??xx??f?x?， 所以，函数f?x??xx为奇函数，
当x?0时，f?x??x，则函数y?f?x?在区间?0,???上为增函数，
2B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
由于该函数为奇函数，则该函数在区间???,0?上也为增函数，
函数f?x??xx在R上连续，所以，该函数在R上为增函数.
又
则a?b?f?a??f?b?，即a?b?aa?bb. 因此，p是q的充分必要条件. 故选：C.
2．（2020·广东肇庆高三三模（理））如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，P为AA1的中点，M在侧面AA1B1B上，有下列四个命题：
①若D1M?CP，则?BCM面积的最小值为5； 10②平面A1BD内存在与D1C1平行的直线；
③过A作平面?，使得棱AD，AA1，D1C1在平面?的正投影的长度相等，则这样的平面?有4个；
④过A作面?与面A1BD平行，则正方体ABCD?A1B1C1D1在面?的正投影面积为3． 则上述四个命题中，真命题的个数为（ ）
A．1 【答案】C
B．2 C．3 D．4
【解析】DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；
过M作MG?平面ABCD，G是垂足，过G作GH?BC，交BC于H，连结MH， 则D(0,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，P(1,0,)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)， 设M(1,a,b)，则D1M?(1,a,b?1)，CP?(1,?1,)， ∵D1M?CP，
1212∴D1M?CP?1?a?11b??0，解得2a?b?1， 22
∴CH?1?a，MG?b?2a?1，
MH?GH2?MG2?(1?a)2?(2a?1)2?5a2?6a?2，
11131115?BC?MH??1?5a2?6a?2??5(a?)2???， ?222552510∴S?BCM?当a?35时，(S?BCM)min?，①正确； 510平面A1BD?D，所以D1C1也与平面A1BD相交．故②错；
对于D1C1//DC，DCD1C1在平面?的正投影的长度相等，③过A作平面?，使得棱AD，AA1，因为D1C1//AB，且D1C1?AB，
故D1C1在平面?的正投影的长度等于AB在平面?的正投影的长度，使得棱AD，AA1，D1C1在平面?的正投影的长度相等，即使得使得棱AD，AA1，AB面?的正投影的长度相等，若棱AD，AA1，AB面?的同侧，则?为过A且与平面A1BD平行的平面，若棱AD，AA1，AB中有一条棱和另外两条棱分别在平面?的异侧，则这样的平面?有3个，故满足使得棱AD，AA1，D1C1在平面?的正投影的长度相等的平面?有4个；③正确．
④过A作面?与面A1BD平行，则正方体ABCD?A1B1C1D1在面?的正投影为一个正六边形，其中AC1?平面?，而AC1分别垂直于正三角形A1BD和CB1D1，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，AC1在平面?内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形A1BD的外接圆半径（投影线与正三角形A1BD、CB1D1垂直），所以正六边形的边长为
323?6?26?a?6????3．④对． ，所以投影的面积为6?a??sin60?????44?3?23故选C．
3．（2020·河北辛集中学高三月考（理））已知命题p:方程x2?ax?1?0有两个实数根；命题q:函数
2f?x??sinx?4?，x??0,??的最小值为4．给出下列命题：①p?q；②p?q；③p?q；④sinx
?p??q．则其中真命题的个数为（ ）
B．2
C．3
D．4
A．1 【答案】C
【解析】对于命题p，?=a2?4?0，则方程x2?ax?1?0有两个实数根，命题p为真命题；
对于命题q，当0?x?π时，0?sinx?1，设t?sinx，由于函数y?t?4在区间?0,1?上单调递减，则tymin?1?44?5，所以，函数f?x??sinx?在x??0,??上的最小值为5，命题q为假命题，因此，1sinxp?q、p??q、?p??q为真命题，p?q为假命题，则真命题的个数为3，故选C.
x?1???1??4．（2020·辽宁高三三模（理））设全集U?R，集合A?{x|(x?1)(x?3)?0}，B??x|????.则
4????2??集合(UA)B等于（ ）
B．(2,3]
C．(1,3)
D．(2,3)
A．(1,2) 【答案】A
【解析】因为A?{x|x?3或x?1}.所以
UA?{x|1?x?3}，又因为B??x|2x?4??{x|x?2}.
所以(UA)?B?{x|1?x?2}.
故选：A.
5．（2020·湖南高三其他（理））已知集合A?xx?5x??4，集合B?xx?0，则AA．??1,0? 【答案】C
【解析】A?{x|x?5x?4?0}?{x|1?x?4}，
2?2????RB??( )
B．??1,4? C．?1,4? D．?0,4?
B?{x|?0}，
RB?{x|x?0}，
A?RB??{x|1?x?4}?{x|x?0}?(1,4).
故选：C
B?{1,2,4}，6．（2020·安徽高三其他（理））设集合U?{0,1,2,3,4}，A?{0,1,2,3}，则A?(UB)?（ ）
A．{0,3} 【答案】A
【解析】因为集合U?{0,1,2,3,4}，A?{0,1,2,3}，B?{1,2,4}，
B．{1,3}
C．{1}
D．{0}
所以
UB??0,3?，
故A?(UB)??0,3?， 故选：A．
7．（2020·浙江吴兴湖州中学高三其他）若a，b?0，则“a?b”是“a3?b3?a2b?ab2”的（ ） A．充分非必要条件 C．充分且必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析：a3?b3?a2b?ab2?a?b?ab?ab?a(a?b)?b(b?a)?(a?b)(a?b)，显然由反之由“a3?b3?a2b?ab2”，不一定有“a?b”，所以“a?b”是“a?b”可以得出“a3?b3?a2b?ab2”，“a3?b3?a2b?ab2”的充分非必要条件.
3322222B．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
8．（2020·福建高三其他（理））已知集合A?xy?lg(x?4x?12},B?{x|?3?x?4}，则A?2B等于
2021届高三新题速递·数学(理)高考复习考点01集合与常用逻辑用语 -解析版
