lnL?nln(?a)???xi?1nai?(a?1)?ln(xi)
i?1ndlnLanna再求lnL对?的导数：???xi
d??ai?1dlnLanna令???xi?0，得??d??ai?1n
a?xii?1n所以未知参数?的最大似然估计量为
n?xi?1n。
ai练习：设总体X的密度函数为
??x??10?x?1f(x,?)??(??0)
?0othersX1,X2,…,Xn是取自总体X的一组样本，求参数α的最大似然估计（同步52页三、5）
十、区间估计
总体X服从正态分布N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn为X的一个样本 1：σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间
(X?u??n,X?u??n)2：σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间
SS(X?t?(n?1),X?t?(n?1))nn3：求σ2置信度为1-α的置信区间
(n?1)S2(n?1)S2(2?,2?)?2(n?1)?1?(n?1)2
例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下：x?162.67,s?18.43 。求该校女生平均身高的95％的置信区间。
2 6
解： T?X?uSn~t(n?1),由样本数据得n?10,x?162.67,s2?18.43,??0.05
95％的置信区间为
查表得：t0.05(?)=2.2622,故平均身高的
(x?t0.05(9)sn,x?t0.05(9)sn)?(159.60,165.74)
例：从总体X服从正态分布N(μ，σ2)中抽取容量为10的一个样本，样本方差S2＝0.07,试求总体方差σ2的置信度为0.95的置信区间。 解：因为
(n?1)S2?2~?2(n?1),所以?2的95%的置信区间为:
(n?1)S2(n?1)S2(2,), 其中S2＝0.07, 2??(n?1)?1??(n?1)22??2(n?1)??0.0252(9)?19.023,?1??2(n?1)??0.9752(9)?2.7022,所以((n?1)S22??2(n?1)?1??2(n?1)2,(n?1)S2)=(9?0.079?0.07,)
19.0232.70=（0.033,0.233）
例：已知某种材料的抗压强度X~N(?,?2), 现随机地抽取10个试件进行抗压试验, 测得数据如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469.
(1)求平均抗压强度?的点估计值;
(2)求平均抗压强度?的95%的置信区间;
(3)若已知?=30, 求平均抗压强度?的95%的置信区间; (4)求?2的点估计值;
(5)求?2的95%的置信区间;
??X?457.50 解: (1)u(2) 因为T?X?u~t(n?1), 故参数?的置信度为0.95的置信区间是: SnSnt?(n?1)}, 经计算x?457.50,s = 35.276, n =10,
2{X?Snt?(n?1),X?2查自由度为9的分位数表得, t0.05(9)?2.262,故
7
{X?SSt?(n?1),X?t?(n?1)}=nn35.2210?2.262,457.50?35.2210?2.262}={432.30, 482.70}
{457.50?(3) 若已知?=30, 则平均抗压强度?的95%的置信区间为:
{X??nu?,X?2?nu?}={457.50?23010?1.96,457.50?3010?1.96}
={438.90,476.09}
?2=S2=1 240.28 (4) ?(5) 因为
(n?1)S2?2~?2(n?1),所以?2的95%的置信区间为:
{(n?1)S22??2(n?1)?1??2(n?1)22,(n?1)S2},其中S2=1 240.28,
??2(n?1)??0.0252(9)?19.023,?1??2(n?1)??0.9752(9)?2.70,所以
2{(n?1)S22??2(n?1)?1??2(n?1)2,(n?1)S2}={9?1240.289?1240.28,}
19.0232.70={586.79,4134.27}
十一、假设检验 1．
已知方差σ2,关于期望μ的假设检验
U? 2．
X??0~N(0,1)?0/n(?0为已知)未知方差σ2,关于期望μ的假设检验
T? 3．
X??0~t(n?1)S/n未知期望μ,关于方差σ2的假设检验
??
2(n?1)S22?0~?2(n?1)8
例：已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112),现在测定了9炉铁水，含碳量平均数x?4.445，样本方差S 2＝0.0169。若总体方差没有变化，即σ2＝0.121，问总
体均值μ有无显著变化？（α＝0.05）（同步50页四、1） 解：原假设H0：μ＝4.55 统计量U?x?4.550.11/9，当H0成立时，U服从N（0，1）
对于α＝0.05，U0.025=1.96
U?4.445?4.55?2.86?1.96
0.11/9故拒绝原假设，即认为总体均值μ有显著变化
练习：某厂生产某种零件，在正常生产的情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为0.13厘米。若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得x?0.146
厘米，S=0.016厘米。问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样？（α＝0.05） （同步52页四、2）【 不一样 】
例：设某厂生产的一种钢索, 其断裂强度Xkg/cm2服从正态分布N(?,402). 从中选取一个容量为9的样本, 得X?780 kg/cm2. 能否据此认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm2 (??0.05).
解： H0：u=800. 采用统计量U=
X?u0?
n2其中σ=40, u0=800, n=9,
??0.05，查标准正态分布表得U?=1.96 |U |=|780?800|?1.5,
4092| U | 练习：某厂生产铜丝，生产一向稳定。现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算：X?287.5,?(Xi?1102i?X)?160.5 。假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可相 信该厂生产的铜丝的折断力方差为16？（α＝0.1） （同步46页四、2）【是】 十二、证明题： 例：总体X~U(?,2?), 其中??0是未知参数, 又X1,X2,?,Xn为取自该总体的样本,X为样 ??2X是参数?的无偏估计. （同步39页四、2） 本均值. 证明: ?3?证明: 因为E? 223???23EX?3EX?32=??2X是参数, 故?3?的无偏估计. 9 例：设??是参数 ?2不是?2的无偏估计量. ?)?0, 证明: ?D(??)??，证明：因为??是参数?的无偏估计量，所以E(??2)?(E??)2?E(??2)??2?0, 即E(??)?E(??2)??2, D(??的无偏估计量, 故 ??2不是?2的无偏估计量. （同步39页四、3） 其它证明题见同步练习46页五、50页五、 十三、其它题目 例：设随机变量X在区间[2，5]上服从均匀分布，求对X进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率。 解：P(X＞3)= 练习：设测量误差X～N(0，100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值（精确到0.01）。 解：由于X～N(0，100)，则 P(|X|＞19.6)=1- P(|X|?19.6)=2[1-?(1.96)]=0.05且显然Y～B(100,0.05),故P(Y?3) 2 =1- P(Y ?2)=1-0.95100?100?0.05?0.9599?C100?0.052?0.9598 ?5312202?2??1?2?2?dx= , 则所求概率即为C3 ?????C3???3327?3??3??3?23设?= np =100×0.05=5，且Y?P(5),则 P(Y?3)=1- P(Y ?2)=1- ?k!5k?021ke?5?1?0.124652=0.875348 例：对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平 均72分,且96分以上的考生数占2.3%。求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 解：设X表示考生的外语成绩，且X～N(72,?),则 2P(X >96)=1-P(X ?96)=1-?( 即? ( 24)=0.023, ?2424)=0.977,查表得=2，则? =12，即且X～N(72,144)， ??X?72故P(60?X?84)=P(-1??1)=2?(1)-1=0.682 12其它题目（主要是选择题和填空题，见同步练习后面的5套模拟题），具体题号如下： 同步练习：模拟题一：42页 一1，2，3，4，5，7，8，二1，3 模拟题二：44页 一1，4，7，8，9二4，5 模拟题三：46页 一1 ，2，5 二1，2，4 模拟题四：48页 一1，2，3，4，6，7二1，2，3 模拟题五：51页 一1，2，3，4，5二2，3，4，5，6 10
概率论与数理统计复习题
