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平狄克《微观经济学》（第7版）
第4章附录 需求理论——一种数学的处理方法
课后练习题详解
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1．下面的效用函数中哪些符合凸的无差异曲线，哪些并不符合？ （1）U?X，Y??2X?5Y； （2）U?X，Y???XY?；
（3）U?X,Y??Min?X,Y?，式中Min是X和Y两个数值中的最小值。 答：（2）中效用函数符合凸的无差异曲线，（1）和（3）中的都不符合。 三者的无差异曲线分别如图4-1（1）、4-1（2）和4-1（3）所示。
0.5
图4-1（1） 效用函数（1）的无差异曲线
图4-1（2） 效用函数（2）的无差异曲线
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图4-1（3） 效用函数（3）的无差异曲线
2．证明下面的两个效用函数导出的商品X和Y的需求函数是相同的。 （1）U?X，Y??log?X??log?Y?； （2）U?X，Y???XY?。
证明：用PX和X分别表示商品X的价格和数量，PY和Y分别表示商品Y的价格和数量，用I表示收入。
（1）效用函数为：U?X，Y??log?X??log?Y?。 预算约束方程为：PXX?PYY?I。 对应的拉格朗日函数为：
L?X，Y，???log?X??log?Y????PXX?PYY?I?
0.5就X，Y和?求L?X，Y，??的微分，使偏导数等于零，即可得到效用最大化条件：
?L?1X??PX?0?X?L?1Y??PY?0 ?Y?L?I?PXX?PYY?0??通过解上面三个方程，可以得到需求函数：
X?I2PXIY?2PY
（2）预算约束方程为：PXX?PYY?I。 效用函数为：U?X，Y???XY?。 对应的拉格朗日函数为：
L?X，Y，????XY????PXX＋PYY?I?
0.50.5985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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就X，Y和?求L?X，Y，??的微分，使偏导数等于零，即可得到效用最大化条件：
?L0.5?0.5?YX???PX?0?X?L0.5?0.5?XY???PY?0 ?Y?L?I?PXX?PYY?0??通过解上面三个方程，可以得到需求函数：
X?I2PXIY?2PY
所以，两个效用函数导出的是相同的需求函数。
3．假设效用函数由Min?X，Y?给出，如本章附录第1题（3）中的那样。那么将因为X价格的变化而引起的X需求的变化进行分解的斯拉茨基方程是什么呢？什么是收入效应？什么是替代效应？
答：斯拉茨基方程是：
dXdPX??X?PX?U?U??X??X?I?
其中第1项是替代效应，第2项是收入效应。由于这一类型的效用函数，即完全互补型产品不存在作为价格变化的替代，所以替代效用为零。因此，此时的斯拉茨基方程改写为：dXdPX??X??X?I?。
如图4-2所示，X的价格下降，使得消费者的预算约束线围绕Y轴向外旋转到L2，作与原无差异曲线相切并与新预算线平行的补偿预算线L3。因L2、L3与U1相交于同一点，因此可知替代效应为0。替代效应则是由预算线从L3移动到L2决定的，即L2与U2的交点和L3与U1的交点之间所对应的X需求量的增加。
图4-2
4．莎伦有如下的效用函数：
U?X，Y??X?Y 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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式中，X是她对棒棒糖的需求量，PX?1美元，Y是她对浓咖啡的需求量，PY?3美元。 （1）推导莎伦对棒棒糖和浓咖啡的需求函数。
（2）假定其收入I为100美元，莎伦会消费多少棒棒糖，多少浓咖啡？ （3）收入的边际效用为多少？ 解：（1）莎伦的效用最大化问题为：
MaxU?X，Y??X?Y X，Ys.t．X?3Y?100
对应的拉格朗日函数为：??X?Y???X?3Y?100?。 效用最大化的一阶必要条件为：
???0.5X?0.5???0 ① ?X?Φ?0.5Y?0.5?3??0 ② ?Y?Φ?100?X?3Y?0 ③ ??联立解得：
X?3II，Y? 412（2）假定其收入为100美元，即I?100。
33I??100?7544 I100Y???8.31212X?所以，莎伦会消费75个单位的棒棒糖，8.3个单位的浓咖啡。 （3）①②联立可得：??11，将相关数据代入可得收入的边际效用为?2X0.56Y0.5。这一数据表明随着莎伦消费增加一美元，其效用增加0.058。 ??0.058
5．莫里斯的效用函数如下：
U?X，Y??20X?80Y?X2?2Y2
式中，X为他对CD的消费量，价格为1美元；Y为录像带的消费量，租金价格为2美元。他计划在这两种形式的娱乐上花41美元。求最大化莫里斯效用的CD与录像带租赁数量。
解：莫里斯的效用最大化问题为：
MaxU?X，Y??20X?80Y?X2?2Y2
XYs.t．X?2Y?41
拉格朗日方程为：
Φ?20X?80Y?X2?2Y2???X?2Y?41?
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效用最大化的一阶条件为：
?Φ?20?2X???0 （1） ?X?Φ?80?4Y?2??0 （2） ?Y?Φ???X?2Y?41??0 （3） ??从而可得最优的CD与录影带租赁数量分别为：X?7，Y?17。
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