2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．) ．．．
f(x)3sinx?sin3x与cxk是等价无穷小，则( ) (1) 已知当x→0时，=(A) = k1,=c4． (B) k=1,c=?4． (C) =k3,=c4． (D) k=3,c=?4．
(2) 已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则lim
x→0
x2f(x)?2f(x3)x3
=( )
(A) ?2f′(0)． (B) ?f′(0)． (C) f′(0)． (D) 0． (3) 函数f(x)=ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为( )
(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3． (4) 微分方程y′′?λy=e(A) a(e
λx
2λx+e?λx(λ>0)的特解形式为( )
+e?λx)． (B) ax(eλx+e?λx)． +be?λx)． (D) x2(aeλx+be?λx)．
(C) x(ae
λx
′(0)g=′(0)0，(5) 设函数f(x),g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)>0,g(0)<0,且f=则函数z=f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )
(A) f′′(0)<0,g′′(0)>0. (B) f′′(0)<0,g′′(0)<0. (C) f′′(0)>0,g′′(0)>0. (D) f′′(0)>0,g′′(0)<0.
ππ0π0(6) 设I=∫40lnsinxdx，J=∫4lncotxdx，K=∫4lncosxdx，则I,J,K的大
小关系是( )
(A) I ?100??100?????=110P=001行得单位矩阵，记P，12????，则A=( ) ?001??010??????1?1(A) PP12． (B) P2P1． (D) P1P2． (C) P2P1． (8) 设A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组 Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为( ) (A) α1,α3． (B) α1,α2． (C) α1,α2,α3． (D) α2,α3,α4． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．) ．．． 1+2x1(9) lim()x= ． x→02(10) 微分方程y'+y=ecosx满足条件y(0)=0的解为 ． (11) 曲线y=?x∫x0tantdt(0≤x≤π4)的弧长s= ． +∞?λe?λx,x>0,λ>0,则∫xf(x)dx= ． =(12) 设函数f(x)??∞?0,x≤0,(13) 设平面区域D由直线y=x,圆x+y=2y及y轴围成，则二重积分 22∫∫xydσ= ． D22(14) 二次型f(x1,x2,x3)=x12+3x2+x3+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则f的正惯性指数 为 ． 三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文．．．字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分) 已知函数F(x)=∫x0ln(1+t2)dtxa，设lim=F(x)lim=F(x)0,试求a的取值范围． +x→+∞x→0 (16) (本题满分11分) ?x=??设函数y=y(x)由参数方程??y=??y=y(x)的凹凸区间及拐点． (17) (本题满分9分) 131t+t+,33确定，求y=y(x)的极值和曲线 131t?t+,33设函数z=f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1?2z处取得极值g(1)=1，求 ?x?y (18) (本题满分10分) ． x=1y=1且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α为曲线l设函数y(x)具有二阶导数，在点(x,y)处切线的倾角，若 (19) (本题满分10分) (I)证明：对任意的正整数n，都有(II)设an=1+dαdy=,求y(x)的表达式． dxdx111 一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 11x2+y2=2y(y≥)与x2+y2=1(y≤)连接而成的． 22(I) 求容器的容积； (II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m，重力加速度为gm/s2，水的密度为103kg/m3)． (21) (本题满分11分) 已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0，f(x,1)=0，f(x,y)dxdy=a， Dy2112x2+y2=2y?1O1x2+y2=1x?1图１ ∫∫=D其中 ′′(x,y)dxdy． {(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，计算二重积分I=∫∫xyfxyD(22) (本题满分11分) TT设向量组=α1(1,0,1)=,α2(0,1,1)=,α3(1,3,5)T，不能由向量组β1=(1,1,1)T， β2=(1,2,3)T，β3=(3,4,a)T线性表示． (I) 求a的值； (II) 将β1,β2,β3由α1,α2,α3线性表示． (23) (本题满分11分) ?11???11?A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，即r(A)=2，且A?00?=?00?． ??????11??11?????(I) 求A的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A． 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．) ．．． (1)【答案】(C)． 【解析】因为lim3sinx?sin3x3sinx?sinxcos2x?cosxsin2x lim=x→0x→0cxkcxk =limx→0sinx(3?cos2x?2cos2x)cxk3?cos2x?2cos2x =limk?1x→0cx3?(2cos2x?1)?2cos2x4?4cos2x4sin2x =lim=lim=limx→0x→0x→0cxk?1cxk?1cxk?1 1． =lim=k?3所以=c4,=k3，故答案选(C)． 4x→0cx (2)【答案】(B)． 【解析】limx→0x2f(x)?2f(x3)x3 =lim x→0 x2f(x)?x2f(0)?2f(x3)+2f(0)x 3 ?f(x)?f(0)f(x3)?f(0)?? =lim??23x→0xx????=f′(0)?2f′(0)=?f′(0)． 故答案选(B)． (3)【答案】(C)． 【解析】f(x)=lnx?1+lnx?2+lnx?3 f'(x)=111 ++x?1x?2x?33x2?12x+11 =(x?1)(x?2)(x?3)令f'(x)=0，得x1,2= (4)【答案】(C)． 【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2?λ2=解得特征根r1=λ,r2=?λ． 0，所以非齐次方程y′′?λ2y=eλx有特解y1=x?a?eλx, 非齐次方程y′′?λ2y=eλx有特解y2=x?b?e?λx， ?6±3，故f(x)有两个不同的驻点． 3故由微分方程解的结构可知非齐次方程y′′?λ2y=eλx+e?λx可设特解 =yx(aeλx+be?λx). (5)【答案】(A)． 【解析】由题意有 ?z?z=f′(x)g(y)， =f(x)g′(y) ?y?x所以，=?z?x(0,0)?z′(0)g(0)0，=f=(0)g′(0)0，即(0,0)点是可能的极值点． f=?y(0,0)
2011-2020年近十年全国考研数学二试卷真题和答案解析(最新126页含书签导航)
