13. .已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2－(8p－10q)x＋5pq=0 至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q).
14.从1，2….，205个共205 个正整数中，最多能取出多少个数。使得对于取出来的数中的任意三个数a,b,c (a, 2006年全国初中数学竞赛试题 考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分） 1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） （A）36 （B）37 （C）55 （D）90 2．已知m?1?222，n?1?2，且(7m?14m?a)(3n?6n?7)=8，则a的值等于（ ） 第46页 （A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y?x上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ） （A）h<1 （B）h=1 （C）1 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分??如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则 2QC的值为（ ） QAD O Q C （A）23?1 （B）23 （C）3?2 A P （第5题图） B （D）3?2 二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分） 6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a A 7．如图，面积为ab?c的正方形DEFG内接于 面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数， 且b不能被任何质数的平方整除，则 a?c的值 bD G 等于 ． C B E F 8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B （第467题图） →C→D→E→A→?方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为米/分．那么出发 后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上． 9．已知0 10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成 为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号 第47页 码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知x?b，a，b为互质的正整数（即a，b是正整数，且它们的最大公约数为1），且aa≤8，2?1?x?3?1． （1） 试写出一个满足条件的x； （2） 求所有满足条件的x． 12．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式 b2?c2?2a2?16a?14 ① bc?a2?4a?5 ② 求a的取值范围． 13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB． P K E B A O 第48页 C 14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值． 2006年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分） 1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） （A）36 （B）37 （C）55 （D）90 答：C． 解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处． 第49页 故选C． 2．已知m?1?2，n?1?2，且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8，则a的值等 于（ ） （A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9 答：C． 解：由已知可得m2?2m?1，n2?2n?1．又 (7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8，所以 (7?a)(3?7)?8 解得a=－9 故选C． 3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y?x上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ） （A）h<1 （B）h=1 （C）1 解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|<|a|），则点B的坐标为 （－a，a2），由勾股定理，得AC?(c?a)?(c?a)， 222222BC2?(c?a)2?(c2?a2)2， AC2?BC2?AB2 所以 (a?c)?a?c． 由于a2?c2，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h= a2－c2=1 故选B． 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分??如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 答：B． 解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°． 因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34= k－33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k－33) ×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005． 当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形??如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角 22222 第50页
全国初中数学竞赛 - 1998~2012 - 试题集锦（附解答）
