高等数学科学出版社答案
【篇一：第一章 习题答案科学教育出版社 高数答案(惠
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txt>习题1-1
1．求下列函数的自然定义域： x3 (1)
y?? 2 1?x
x?1arccos ； (3) y?
解：(1)解不等式组? (2) y?arctan 1 x ?3 x?1?
(4) y??. ?3 , x?1? ?x?3?0
得函数定义域为[?3,?1)?(?1,1)?(1,??); 2 ?1?x?0 ?3?x2?0
(2)解不等式组?得函数定义域为[?; ?
x?0
x?1??1??1?
(3)解不等式组?得函数定义域为[?5,?2)?(3,6]; 5 2??x?x?6?0
(4)解不等式x?1?0得函数定义域为[1,??). 2．已知函数f(x)定义域为[0,1]
，求ff(cosx),f(x?c)?f(x?c) (c?0)义域． 解：因为f(x)定义域为[0,1] 22
?0?x?c?11当?时，得函数f(x?c)?f(x?c)定义域为：（x??c,1?c?；（2） 0?x?c?12?若c?
1）若c?， 3．设f(x)? 1?x?a?
1???,a?0,求函数值f(2a),f(1)． x2?|x?a|? 1?a?x?1???，则 x2?|x?a|? 的定 ??
111，x?；（3）若c?，x??． 222 解：因为f(x)? f(2a)?
1?a?1??0 ,a1,1??a?1
f(1)?1??1??，??????2 ,0a1． 12?a?14a2?a?2a2 ???
4. 证明下列不等式:
(1) 对任何x?r有 |x?1|?|x?2|?1; 1
(2) 对任何n?z?有 (1?1)n?1?(1?1)n; n?1 n
(3) 对任何n?z?及实数a?1有 an?1?a?1. n
证明：（1）由三角不等式得
|x?1|?|x?2|?|x?1?(x?2)|?1 （2）要证(1?1)n?1?(1?1)n，即要证1?1? n? 1 n 1 n?1 (1? ?
得证。
111)?(??)????)1 1 ?1? n?1n?1
（3）令h?a?1，则h?0，由bernouli不等式，有 a?(1?h)?1?nh?1?n(a?1) n 1
n 1n 所以
a?1。 n
5. 试将下列直角坐标方程化为极坐标方程，而把极坐标方程化为直角坐标方程: 22
(1) ??4; (2) x?y?1;(3) x?8y2;(4) ???. 254
解：(1) x2?y2?16；(2) ?2(5?7sin2?)?10；(3) 8?sin2??cos??0；(4) y?x (x?0) a?1? 1n
6．判断下列各组函数中的f(x)与g(x)是否为同一函数？说明理由！ (1) f(x)?ln 2
x,g(x)??ln ?x ； ?
(2) f(x)?1,g(x)?sec2x?tan2x； (3) f(x)?2lgx,g(x)?lgx2 ; 3
x?x(4) f(x)?1?x,g(x)? ； x
解：(1) 是； (2) 是； (3) 不是，因为定义域不同；(4) 不是，因为定义域不同．
7．试确定下列函数的单调区间： 3?x
(1) y??ln(?x)； (2) y?； (3) y?1?sinx. x1?x 3
解：(1) 函数的定义域为(??,0)，此时，函数y1?单调递减，y2?ln(?x)也是单调递 x
减，则y?y1?y2在(??,0)内也是递减的． ?x(1?x)?11
(2)y?，当x?(??时，函数y1?x?1单调递增，则,1)??1? 1?x1?xx?1 2 y2?
11?x
是单调递减的，故原函数y?是单调递减的． ? y1x?11?x
(3) 函数的定义域为(??,??)，在(2k??(2k?? ? 2
,k2?? ? 2
函)数是单调递增的，在 ? 2
,k2?? 3?
函数是单调递增的. )2
8. 判定下列函数的奇偶性： (1)y?x2?2cosx?1； (2) y
?tan1； ex?e?x
(3) y?； (4) y?. 2
解：(1)因为f(?x)?x2?2cosx?1?f(x)，所以是偶函数． 1
(2) 因为f(?x)??tan??f(x)，所以是奇函数． x?x e?ex (3) 因为 f
(?x)??f(x)，所以是偶函数．
(4) 因为f(?x)??lg(x?1??lg(x?， 所以是非奇非偶函数．
9．设f(x)是定义在[?l,l]上的任意函数，证明：
(1) f(x)?f(?x)是偶函数，f(x)?f(?x)是奇函数； (2) f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令g(x)?f(x)?f(?x),h(x)?f(x)?f(?x)，则
g(?x)?f(?x)?f(x)?g(x),h(?x)?f(?x)?f(x)??h(x)，所以f(x)?f(?x)是偶函数，f(x)?f(?x)是奇函数．
（2）任意函数f(x)?
f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)f(x)?f(?x) ，由（1）可知是偶函数，? 222
f(x)?f(?x)
是奇函数，所以命题得证． 2
10．证明：函数在区间i上有界的充分必要条件是函数在i上既有上界又有下界. 证明：（必要性）若函数f(x)在区间i上有界，则存在正数m，使得x?i，都有f(x)?m成立，显然?m?f(x)?m，即证得函数f(x)在区间i上既有上界又有下界 （充分性）设函数f(x)在区间i上既有上界m2，又有下界m1，即有f(x)?m1且f(x)?m2，取m?max{m1,m2}，则有f(x)?m，即函数f(x)在区间i上有界． (4) y?sin2x. 2
(3)周期函数，周期为； 3
12．求下列函数的反函数： 2x
(1) y?x； (2) y?lnx． 2?1 yy
解：(1) 依题意，2x?，则x?log2，所以反函数为 y?1y?1 x
f?1(x)?log2,x?(??,0)?(1,??)． x?1
ey?e?yex?e?x?1
(2) 依题意， x?，所以反函数为f(x)?, x?r 22
?1 |x|1 ,?
13．设f(x)??0 |x|=1,g(x)?ex，求f(g(x))与g(f(x))，并作出函数图形．
??1 |x|1,?
??e |x|1 ,?1 x0 , ??
解：g[f(x)]??0 x=0, f[g(x)]??1 |x|=1,图略。
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