全国高中数学联赛模拟试题
一、选择题：（每小题6分，共36分） 1、
设集合M={?2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使
对任意的x∈M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是 （A）45 2、
已知sin2
（B）27 =a，cos2
（C）15
4 （D）11
4??????=b，0＜＜，给出tan???值
?的五个答案： ①
b； 1?aa?b?1． a?b?1②
a； 1?b③
1?b； a④
1?a； ⑤b其中正确的是： （A）①②⑤ ④⑤ 3、
若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为
（B）②③④
（C）①④⑤
（D）③
90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 （A）64 4、
（B）66
（C）68
（D）70
递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们
或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A）729
（B）972
（C）243
（D）981
5、
n?1?594m?1C1（其中m??，[x]表示不超过n?Cn?Cn???Cn???4?x的最大整数）的值为 （A）2ncos2?n? 4
（B）2nsin2?n? 44?1n?1n??n（C）??2?2cos?
4?1n?1n??n（D）??2?2sin?
6、 一个五位的自然数abcde称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是 （A）8568 1134
二、填空题：（每小题9分，共54分） 1、
x2y2过椭圆??1上任意一点
32 （B）2142 （C）2139 （D）
P，作椭圆的右准线的垂线
PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得HQ=PH（≥1）．当
点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是 ． 2、
已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P作与a、
b都成角（0＜＜90°）的直线l，则这样的直线l的条数
是f()= ． 3、
不
等
式
?1?4x21?2x?2?2x?9的解集
为 ．
4、 得
设复数z满足条件|z?i|=1，且z≠0，z≠2i，又复数使
??2iz为实数，则复数??z?2i?2的辐角主值的取值范围
是 ． 5、
设
a1,a2,…,a2002均为正实数，且
1111?????，则2?a12?a22?a20022a1a2…a2002的最小值
是 ． 6、
在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数
字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n（n为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为 ．
三、（20分）
已知数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，且前n12项和为Sn．
（1） 用Sn表示Sn+1；
（2） 是否存在自然数c和k，使得
Sk?1?c＞2成立． Sk?c
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